QCM : Ensembles et intervalles réels (9 questions)

Question 1

1. Une élève veut déterminer si 0 appartient à l’ensemble des entiers naturels ℕ. Quelle conclusion doit-elle retenir ?

0 appartient à ℕ, qui contient les entiers positifs ou nuls

0 appartient à ℕ seulement lorsqu’il est associé à un entier négatif

0 n’appartient pas à ℕ, qui contient les entiers négatifs et positifs

0 n’appartient pas à ℕ, qui contient les entiers strictement positifs

Explication

L’ensemble ℕ comprend les entiers positifs ou nuls, donc 0 en fait partie. L’exclusion de 0 confond cette définition avec l’usage qui réserve parfois les naturels aux entiers strictement positifs.

Answer

0 appartient à ℕ, qui contient les entiers positifs ou nuls

Question 2

2. Pour exprimer que l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, et que le nombre 3 appartient aux entiers naturels, quels symboles faut-il employer respectivement ?

ℕ ∈ ℤ, puis 3 ⊂ ℕ

ℕ ∈ ℤ, puis 3 ∈ ℕ

ℕ ⊂ ℤ, puis 3 ∈ ℕ

ℕ ⊂ ℤ, puis 3 ⊂ ℕ

Explication

Le symbole ⊂ relie deux ensembles pour exprimer une inclusion, tandis que ∈ relie un nombre à un ensemble pour exprimer son appartenance. Intervertir les symboles ou employer l’un des deux dans les deux relations confond ces notions.

Answer

ℕ ⊂ ℤ, puis 3 ∈ ℕ

Question 3

3. Un capteur enregistre les valeurs réelles x telles que $-2 < x \leq 5$ . Quelle notation d’intervalle décrit ces valeurs ?

[−2 ; 5[

]−2 ; 5[

]−2 ; 5]

[−2 ; 5]

Explication

Une borne strictement dépassée est exclue, tandis qu’une borne atteinte ou dépassée au sens large est incluse : la notation est donc ]−2 ; 5]. Inclure −2, exclure 5 ou inclure les deux bornes modifie la condition donnée.

Answer

]−2 ; 5]

Question 4

4. Un système accepte toutes les valeurs réelles x inférieures ou égales à 4. Quel intervalle représente cet ensemble ?

[4 ; +∞[

]4 ; +∞[

]−∞ ; 4]

]−∞ ; 4[

Explication

La condition x ≤ 4 comprend la borne 4 et toutes les valeurs situées à sa gauche, ce qui correspond à ]−∞ ; 4]. L’intervalle [4 ; +∞[ pointe vers les valeurs supérieures, ]−∞ ; 4[ exclut 4, et ]4 ; +∞[ combine ces deux erreurs.

Answer

]−∞ ; 4]

Question 5

5. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

Le carré de

x

si

x

est positif, et son opposé si

x

est négatif

Le nombre

x

si

x

est positif ou nul, et son opposé si

x

est négatif

La racine carrée de

x

si

x

est positif, et son opposé si

x

est négatif

Le nombre

x

si

x

est négatif ou nul, et son opposé si

x

est positif

Explication

La valeur absolue conserve un réel positif ou nul et change le signe d’un réel négatif, donnant ainsi sa distance à zéro. La règle fondée sur le signe inverse les cas positifs et négatifs.

Answer

Le nombre $$x$$ si $$x$$ est positif ou nul, et son opposé si $$x$$ est négatif

Question 6

6. Dans l’intervalle $[a-r\,;\,a+r]$ , quelle est la condition portant sur le réel $r$ ?

Il est positif ou nul.

Il est inférieur ou égal à

a

.

Il est égal à la longueur de l’intervalle.

Il est strictement positif.

Explication

Le rayon $r$ est défini comme un réel positif ou nul. Un rayon strictement positif exclurait à tort le cas où $r=0$ .

Answer

Il est positif ou nul.

Question 7

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

Former l’ensemble des réels qui appartiennent à

I

ou à

J

.

Déterminer les réels qui n’appartiennent ni à

I

ni à

J

.

Repérer les réels situés entre les bornes extrêmes de

I

et de

J

.

Former l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à

I

et à

J

.

Explication

L’intersection sert à recueillir les éléments communs aux deux intervalles. La réunion, contrairement à l’intersection, rassemble les éléments de l’un ou l’autre intervalle.

Answer

Former l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $$I$$ et à $$J$$.

Question 8

8. En quoi les ensembles des nombres décimaux et des nombres rationnels diffèrent-ils dans la chaîne d’inclusions des ensembles de nombres ?

Les rationnels sont inclus dans les décimaux, qui contiennent aussi des nombres irrationnels.

Les deux ensembles sont identiques, car chaque rationnel a une écriture décimale finie.

Les décimaux sont inclus dans les rationnels, qui contiennent aussi des nombres non décimaux.

Les décimaux et les rationnels sont disjoints, car leurs écritures n’ont pas la même forme.

Explication

Tout nombre décimal est rationnel, mais les rationnels comprennent aussi des nombres dont l’écriture décimale n’est pas finie, comme un quotient tel que $\frac{1}{3}$ . L’affirmation qu’ils sont identiques confond une écriture décimale finie avec une écriture décimale éventuellement périodique.

Answer

Les décimaux sont inclus dans les rationnels, qui contiennent aussi des nombres non décimaux.

Question 9

9. Si la borne supérieure d’un intervalle est exclue plutôt qu’incluse, quelle conséquence cela a-t-il sur l’inégalité qui décrit ses éléments ?

La borne supérieure est remplacée par une inégalité stricte.

La borne inférieure est remplacée par une inégalité stricte.

L’intervalle devient nécessairement non borné.

Les deux bornes doivent être exclues de l’intervalle.

Explication

Un crochet ouvert du côté de la borne supérieure signifie qu’un élément de l’intervalle doit être strictement inférieur à cette borne. Cela ne modifie pas la condition portant sur la borne inférieure, qui dépend de son propre crochet.

Answer

La borne supérieure est remplacée par une inégalité stricte.

QCM : Ensembles et intervalles réels (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une élève veut déterminer si 0 appartient à l’ensemble des entiers naturels ℕ. Quelle conclusion doit-elle retenir ?

2. Pour exprimer que l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, et que le nombre 3 appartient aux entiers naturels, quels symboles faut-il employer respectivement ?

3. Un capteur enregistre les valeurs réelles x telles que $-2 < x \leq 5$ . Quelle notation d’intervalle décrit ces valeurs ?

4. Un système accepte toutes les valeurs réelles x inférieures ou égales à 4. Quel intervalle représente cet ensemble ?

5. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

6. Dans l’intervalle $[a-r\,;\,a+r]$ , quelle est la condition portant sur le réel $r$ ?

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

8. En quoi les ensembles des nombres décimaux et des nombres rationnels diffèrent-ils dans la chaîne d’inclusions des ensembles de nombres ?

9. Si la borne supérieure d’un intervalle est exclue plutôt qu’incluse, quelle conséquence cela a-t-il sur l’inégalité qui décrit ses éléments ?

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Questions et réponses du QCM

1. Une élève veut déterminer si 0 appartient à l’ensemble des entiers naturels ℕ. Quelle conclusion doit-elle retenir ?

2. Pour exprimer que l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, et que le nombre 3 appartient aux entiers naturels, quels symboles faut-il employer respectivement ?

3. Un capteur enregistre les valeurs réelles x telles que −2<x≤5-2 < x \leq 5−2<x≤5. Quelle notation d’intervalle décrit ces valeurs ?

4. Un système accepte toutes les valeurs réelles x inférieures ou égales à 4. Quel intervalle représente cet ensemble ?

5. Que représente la valeur absolue d’un réel xxx ?

6. Dans l’intervalle [a−r ; a+r][a-r\,;\,a+r][a−r;a+r], quelle est la condition portant sur le réel rrr ?

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles III et JJJ ?

8. En quoi les ensembles des nombres décimaux et des nombres rationnels diffèrent-ils dans la chaîne d’inclusions des ensembles de nombres ?

9. Si la borne supérieure d’un intervalle est exclue plutôt qu’incluse, quelle conséquence cela a-t-il sur l’inégalité qui décrit ses éléments ?

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3. Un capteur enregistre les valeurs réelles x telles que $-2 < x \leq 5$ . Quelle notation d’intervalle décrit ces valeurs ?

5. Que représente la valeur absolue d’un réel $x$ ?

6. Dans l’intervalle $[a-r\,;\,a+r]$ , quelle est la condition portant sur le réel $r$ ?

7. Quel est le rôle de l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?