Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques et inclusions
2. Appartenance et représentation réelle
3. Intervalles de la droite réelle
4. Intersection et réunion d’intervalles

📖 1. Ensembles numériques et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs, des entiers négatifs et de zéro.
• Nombres décimaux : Ensemble des nombres rationnels qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec $n \in \mathbb{N}$.
• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire $\frac{a}{b}$, avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}$ différent de zéro.
• Nombres réels : Ensemble des nombres représentés par les abscisses des points d’une droite numérique.

★ À maîtriser

• Les ensembles numériques vérifient l’inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Compléments

📌 Les nombres irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

• Le nombre $\sqrt{2}$ est un réel irrationnel.

• Le nombre $\frac{1}{3}$ est rationnel, mais il n’est pas décimal.

📖 2. Appartenance et représentation réelle

📝 Points essentiels

• Le symbole $\subset$ signifie qu’un ensemble est inclus dans un autre, tandis que $\in$ et $\notin$ indiquent respectivement l’appartenance et la non-appartenance d’un élément à un ensemble.

• Le nombre $\pi$ appartient à ℝ mais n’appartient pas à ℚ.

📖 3. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Ensemble d’abscisses de points d’une droite graduée.

★ À maîtriser

📌 Une borne est exclue d’un intervalle lorsque le crochet est tourné vers l’extérieur de l’intervalle.

Compléments

• Si $a < b$ sont les bornes d’un intervalle, $a$ est sa borne inférieure et $b$ sa borne supérieure.

• L’ensemble des nombres réels ℝ s’écrit comme l’intervalle $]-\infty ; +\infty[$.

• Dans l’intervalle $]-2 ; 3]$, $0{,}5$ et $3$ appartiennent à l’intervalle, mais $-2$ n’y appartient pas.

📖 4. Intersection et réunion d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des nombres réels appartenant à la fois à I et à J.
• Réunion : Ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J.

💡 Astuce mémo

Intersection : dans les deux ; réunion : dans l’un ou l’autre.