Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques fondamentaux
2. Naturels entiers et décimaux
3. Rationnels réels et irrationnels
4. Classer un nombre
5. Symboles et opérations ensemblistes
6. Intervalles et inégalités
7. Intersections unions et réels particuliers

📖 1. Ensembles numériques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Les nombres naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls, généralement notés $\mathbb N=\{0;1;2;3;\ldots\}$ au lycée en France.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs comprennent les nombres naturels et les nombres négatifs, et sont notés $\mathbb Z=\{\ldots;-2;-1;0;1;2;\ldots\}$.

📝 Points essentiels

• Les cinq ensembles numériques sont emboîtés selon la relation $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

Naturels → Entiers → Décimaux → Rationnels → Réels

📖 2. Naturels entiers et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Les nombres décimaux sont les nombres dont l’écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire $\frac ab$ avec $a\in\mathbb Z$ et $b\in\mathbb Z$ non nul.

📝 Points essentiels

• Le nombre $\frac13=0{,}3333\ldots$ est rationnel mais n’est pas décimal.

💡 Astuce mémo

Naturels positifs ou nuls, entiers avec les négatifs, décimaux à écriture finie

📖 3. Rationnels réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les nombres réels regroupent tous les nombres qui peuvent être placés sur une droite graduée.
• Nombres irrationnels : Les nombres irrationnels sont les nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme $\frac ab$ avec $a,b\in\mathbb Z$ et $b\neq0$.

📝 Points essentiels

• $\sqrt2$, $\sqrt3$ et $\pi$ sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction d’entiers ; irrationnel = réel sans écriture fractionnaire

📖 4. Classer un nombre

📝 Points essentiels

• Pour classer un nombre dans le plus petit ensemble, on teste successivement son appartenance à ℕ, puis à ℤ, à 𝔻, à ℚ et enfin à ℝ.

• Le plus petit ensemble contenant 7 est ℕ, contenant -4 est ℤ, contenant 2,5 est 𝔻, contenant $\frac23$ est ℚ et contenant $\sqrt2$ est ℝ.

💡 Astuce mémo

Tester successivement ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, puis ℝ

📖 5. Symboles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : L’ensemble vide, noté $\varnothing$ ou $\emptyset$, est l’ensemble qui ne contient aucun élément.
• Différence d’ensembles : Le symbole $\setminus$ signifie « privé de » ou « sans », ainsi $\mathbb R\setminus\{0\}$ désigne les réels privés de zéro.

📝 Points essentiels

📌 Le symbole $\in$ signifie qu’un nombre appartient à un ensemble, tandis que $\subset$ signifie qu’un ensemble est inclus dans un autre ensemble.

💡 Astuce mémo

∈ compare un nombre à un ensemble, tandis que ⊂ compare deux ensembles

📖 6. Intervalles et inégalités

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les quatre formes d’intervalles correspondent aux inégalités suivantes : $a\leq x\leq b\Longleftrightarrow x\in[a;b]$, $a<x<b\Longleftrightarrow x\in]a;b[$, $a\leq x<b\Longleftrightarrow x\in[a;b[$, et $a<x\leq b\Longleftrightarrow x\in]a;b]$.

📌 L’infini n’est jamais inclus dans un intervalle, donc le côté correspondant à $+\infty$ ou $-\infty$ porte toujours un crochet ouvert.

📐 Formule — Les inégalités avec une seule borne s’écrivent $x\geq a\Longleftrightarrow x\in[a;+\infty[$, $x>a\Longleftrightarrow x\in]a;+\infty[$, $x\leq a\Longleftrightarrow x\in]-\infty;a]$ et $x<a\Longleftrightarrow x\in]-\infty;a[$.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 7. Intersections unions et réels particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection $A\cap B$ est l’ensemble des éléments communs à A et B, c’est-à-dire les éléments appartenant à A et à B.
• Union : L’union $A\cup B$ est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les ensembles particuliers vérifient $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$, $\mathbb R_+=[0;+\infty[$, $\mathbb R_+^*=]0;+\infty[$, $\mathbb R_-=]-\infty;0]$ et $\mathbb R_-^*=]-\infty;0[$.

💡 Astuce mémo

∩ signifie ET, tandis que ∪ signifie OU

📊 Tableaux de synthèse

Classification des nombres

Correspondance intervalles inégalités