QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 16 questions

Explication

Chaque ensemble est contenu dans le suivant, des naturels jusqu’aux réels, ce qui donne l’emboîtement indiqué. Une appartenance comme $3\in\mathbb N$ concerne un nombre et un ensemble, tandis qu’une inclusion compare deux ensembles.

Explication

Les naturels sont les entiers positifs ou nuls et comprennent donc $0,1,2,3,\ldots$. Les entiers négatifs relèvent de $\mathbb Z$, tandis que les deux autres descriptions concernent les décimaux et les rationnels.

Explication

Les entiers relatifs comprennent les naturels ainsi que les entiers négatifs, donc $-4\in\mathbb Z$ mais $-4\notin\mathbb N$. Les nombres $0$ et $7$ sont naturels, tandis que $2,5$ n’est pas un entier.

Explication

Un nombre décimal possède une écriture comportant un nombre fini de chiffres après la virgule, comme $2,75$. Une écriture fractionnaire caractérise les rationnels, et la placement sur une droite graduée caractérise les réels.

Explication

Le nombre $\frac13$ est rationnel puisqu’il est présenté comme un quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Son écriture $0,3333\ldots$ ne s’arrête pas, donc elle n’est pas décimale.

Explication

Les réels regroupent tous les nombres pouvant être placés sur une droite graduée, notamment les rationnels et les irrationnels. Les rationnels et les irrationnels constituent deux catégories incluses dans $\mathbb R$.

Explication

$\sqrt2$, $\sqrt3$ et $\pi$ sont des exemples de nombres irrationnels : ils appartiennent à $\mathbb R$ mais pas à $\mathbb Q$. Les autres listes contiennent au moins un nombre rationnel, comme $\frac12$, $-3$ ou $0,25$.

Explication

La fraction $\frac{2}{3}$ est un nombre rationnel, donc elle appartient à $\mathbb{Q}$. Elle n’appartient pas à $\mathbb{D}$, car son écriture décimale n’est pas finie.

Explication

Le classement se fait du plus petit ensemble vers les ensembles plus vastes : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, puis $\mathbb{R}$. Commencer par $\mathbb{R}$ indique seulement qu’un nombre réel appartient à un ensemble très large, sans déterminer le plus petit ensemble adapté.

Explication

Le symbole $\in$ exprime l’appartenance d’un nombre à un ensemble, tandis que $\subset$ exprime l’inclusion d’un ensemble dans un autre. Ainsi, les deux relations ne portent pas sur le même type d’objets.

Explication

Le symbole $\setminus$ signifie « privé de » ou « sans », donc $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ contient tous les réels sauf zéro. L’ensemble $\mathbb{R}$, lui, contient aussi zéro.

Explication

L’inégalité $a\leq x<b$ inclut la borne $a$ et exclut la borne $b$, ce qui s’écrit $x\in[a;b[$. L’intervalle $]a;b]$ inclurait au contraire $b$ et exclurait $a$.

Explication

L’infini n’est pas un nombre réel que l’on puisse inclure comme une borne, d’où le crochet ouvert dans $[a;+\infty[$. Une borne réelle, comme $a$, peut en revanche être incluse avec un crochet fermé.

Explication

L’inégalité $x\leq a$ décrit les nombres situés à gauche de $a$, avec $a$ inclus : elle s’écrit $x\in]-\infty;a]$. L’écriture $]-\infty;a[$ correspondrait à $x<a$, car la borne $a$ y serait exclue.

Explication

L’intersection conserve les éléments communs aux deux ensembles, qui doivent donc appartenir à $A$ et à $B$. L’union correspond au rassemblement des éléments appartenant à l’un ou l’autre ensemble.

Explication

L’union rassemble les éléments présents dans $A$ ou dans $B$, sans répéter l’élément commun $3$. L’ensemble $\{3\}$ est leur intersection et non leur union.