QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si un réel appartient à II ou à JJ, dans quel ensemble est-il nécessairement situé ?

Dans l’intersection I∩JI \cap J
Dans l’intervalle formé par leurs bornes communes
Dans la différence entre II et JJ
Dans l’union I∪JI \cup J

Dans l’union $$I \cup J$$

Explication

L’union regroupe les réels appartenant à II ou à JJ, ce qui suffit pour qu’un nombre y soit inclus. L’intersection demande une appartenance simultanée aux deux intervalles.

2. Que peut-on dire de l’écriture décimale illimitée d’un nombre rationnel ?

Elle est périodique
Elle ne contient aucune répétition de chiffres
Elle comporte nécessairement un nombre fini de chiffres
Elle représente toujours un nombre irrationnel

Elle est périodique

Explication

L’écriture décimale illimitée d’un rationnel présente une période qui se répète. Une écriture décimale non périodique caractérise au contraire un nombre irrationnel.

3. Quel ensemble contient les entiers positifs ou nuls tels que 0, 1, 2 et 3 ?

L’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres décimaux D\mathbb{D}
L’ensemble des nombres rationnels Q\mathbb{Q}
L’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}

L’ensemble des entiers naturels $$\mathbb{N}$$

Explication

L’ensemble N\mathbb{N} regroupe les entiers positifs ou nuls. L’ensemble Z\mathbb{Z} est plus vaste, car il contient aussi les entiers négatifs.

4. Quel ensemble comprend à la fois les entiers positifs ou nuls et les entiers négatifs ?

L’ensemble des nombres décimaux D\mathbb{D}
L’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}
L’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}
L’ensemble des nombres irrationnels

L’ensemble des entiers relatifs $$\mathbb{Z}$$

Explication

Les entiers relatifs, notés Z\mathbb{Z}, comprennent les entiers positifs ou nuls ainsi que les entiers négatifs. Les entiers naturels ne comportent pas les nombres négatifs.

5. Quelle valeur obtient-on pour la valeur absolue d’un nombre négatif aa ?

Son carré, soit a2a^2
Le nombre lui-même, soit aa
Son opposé, soit −a-a
L’inverse du nombre, soit 1a\frac{1}{a}

Son opposé, soit $$-a$$

Explication

Pour un nombre négatif, la valeur absolue est son opposé −a-a afin d’obtenir une valeur positive. Conserver aa correspond au cas d’un nombre positif, et non à celui d’un nombre négatif.

6. Pour r>0r>0, quel intervalle décrit la condition ∣x−a∣≤r|x-a|\le r ?

x∈]−∞ ; a−r]∪[a+r ; +∞[x\in]-\infty\ ;\ a-r]\cup[a+r\ ;\ +\infty[
x∈[a−r ; a+r]x\in[a-r\ ;\ a+r]
x∈]a−r ; a+r[x\in]a-r\ ;\ a+r[
x∈[a+r ; a−r]x\in[a+r\ ;\ a-r]

$$x\in[a-r\ ;\ a+r]$$

Explication

La condition signifie que la distance entre xx et aa est au plus rr, donc xx se situe entre a−ra-r et a+ra+r, bornes comprises. L’intervalle ouvert exclurait les deux cas de distance exactement égale à rr.

7. Laquelle de ces affirmations décrit correctement le nombre 23\frac{2}{3} ?

Il est décimal et son écriture comporte exactement deux chiffres après la virgule
Il est rationnel et son écriture décimale est périodique, de période 6
Il est irrationnel et son écriture décimale est illimitée non périodique
Il est entier relatif et son écriture décimale ne comporte pas de partie fractionnaire

Il est rationnel et son écriture décimale est périodique, de période 6

Explication

Le nombre 23\frac{2}{3} est rationnel et son écriture est 0,666…0,666\ldots, avec une période constituée du chiffre 6. Il n’a donc pas une écriture décimale finie.

8. Quelle condition permet d’affirmer qu’un nombre appartient à l’ensemble des rationnels Q\mathbb{Q} ?

Il peut s’écrire ab\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈Z∖{0}b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}
Il possède une écriture décimale finie avec un chiffre non nul
Il est l’abscisse d’un point situé entre deux entiers
Il ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers

Il peut s’écrire $$\frac{a}{b}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$$

Explication

Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient ab\frac{a}{b} de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Une écriture décimale finie est une propriété des nombres décimaux, qui constituent une partie des rationnels.

9. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet fermé placé auprès d’une borne réelle ?

La borne doit être un nombre entier
La borne est nécessairement infinie
La borne est exclue de l’intervalle
La borne appartient à l’intervalle

La borne appartient à l’intervalle

Explication

Un crochet fermé indique que la borne appartient à l’intervalle. Un crochet ouvert indique au contraire que la borne n’en fait pas partie.

10. Sur une droite graduée, quelle expression donne la distance entre les points d’abscisses aa et bb ?

a+ba+b
a−ba-b
∣a+b∣|a+b|
∣a−b∣|a-b|

$$|a-b|$$

Explication

La distance entre les deux abscisses se calcule par la valeur absolue de leur différence, ∣a−b∣|a-b|, qui ne dépend pas de l’ordre des points. La différence non valorisée peut être négative lorsque bb est supérieur à aa.

11. Quelle chaîne d’inclusions décrit correctement les ensembles usuels de nombres ?

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}
N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Chaque ensemble est inclus dans le suivant selon la chaîne N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. Par exemple, tout nombre décimal est rationnel, mais certains rationnels ne sont pas décimaux.

12. Laquelle des écritures caractérise un nombre décimal ?

a×10pa\times 10^p avec aa réel et pp relatif
ab\frac{a}{b} avec aa et bb naturels quelconques
10pa\frac{10^p}{a} avec aa entier naturel non nul
a10p\frac{a}{10^p} avec aa entier relatif et pp naturel

$$\frac{a}{10^p}$$ avec $$a$$ entier relatif et $$p$$ naturel

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme a10p\frac{a}{10^p}, où aa est un entier relatif et pp un entier naturel. Une fraction de forme ab\frac{a}{b} caractérise plus largement un nombre rationnel.

13. Comment appelle-t-on un nombre réel qui n’est pas rationnel ?

Un nombre naturel
Un nombre décimal
Un entier relatif
Un nombre irrationnel

Un nombre irrationnel

Explication

Un réel qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers est appelé irrationnel. Les nombres décimaux, les entiers relatifs et les naturels appartiennent tous aux rationnels.

14. Pourquoi les crochets associés à −∞-\infty et +∞+\infty sont-ils toujours ouverts ?

Ces symboles ne représentent pas des nombres réels inclus dans l’intervalle
Les infinis correspondent à des nombres entiers trop grands pour être écrits
Les infinis représentent des bornes réelles dont la valeur est inconnue
Les infinis sont inclus lorsque l’autre borne est fermée

Ces symboles ne représentent pas des nombres réels inclus dans l’intervalle

Explication

−∞-\infty et +∞+\infty ne sont pas des nombres réels pouvant appartenir à un intervalle, d’où l’emploi obligatoire de crochets ouverts. Une borne réelle, elle, peut être incluse avec un crochet fermé.

15. Qu’est-ce qu’un intervalle de R\mathbb{R} ?

Un ensemble de réels délimité par des bornes dont l’inclusion dépend des crochets
Un ensemble de rationnels dont les extrémités sont nécessairement ouvertes
Un ensemble de réels défini par une seule borne sans condition d’appartenance
Un ensemble d’entiers compris entre deux bornes toujours incluses

Un ensemble de réels délimité par des bornes dont l’inclusion dépend des crochets

Explication

Un intervalle de R\mathbb{R} rassemble des nombres réels situés entre des bornes, et les crochets indiquent si ces bornes sont incluses. Les bornes peuvent donc être ouvertes ou fermées selon la notation.

16. Que représente l’intersection de deux intervalles II et JJ ?

L’ensemble des réels situés entre les bornes extérieures des deux intervalles
L’ensemble des réels situés entre les bornes intérieures des deux intervalles
L’ensemble des réels appartenant à II et à JJ
L’ensemble des réels appartenant à II ou à JJ

L’ensemble des réels appartenant à $$I$$ et à $$J$$

Explication

L’intersection conserve les nombres qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. L’union, qui constitue la confusion fréquente, rassemble les nombres appartenant à l’un ou à l’autre intervalle.

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Que contient l'ensemble des entiers naturels N ?

Les entiers positifs ou nuls comme 0, 1, 2, 3.

Que contient l'ensemble des entiers relatifs Z ?

Les entiers positifs, nuls et négatifs.

Quelle forme a un nombre décimal ?

a10p\frac{a}{10^p} avec a entier relatif et p entier naturel.

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