Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres usuels
2. Rationnels et irrationnels
3. Intervalles de R
4. Union et intersection
5. Valeur absolue et distance

📖 1. Ensembles de nombres usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : contient les entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, …
• Entiers relatifs : contient les entiers positifs ou nuls et les entiers négatifs
• Nombre décimal : un nombre de la forme $\frac{a}{10^p}$, où a est un entier relatif et p un entier naturel

★ À maîtriser

📌 L’inclusion des ensembles de nombres est $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

Compléments

• Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

💡 Astuce mémo

Inclusion croissante : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Rationnels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : un nombre qui s’écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a entier et b entier non nul, et l’ensemble des rationnels est noté Q
• Nombre réel : l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée droite numérique, et l’ensemble des réels est noté R
• Nombre irrationnel : un nombre réel qui n’est pas rationnel

★ À maîtriser

• L’écriture décimale illimitée d’un nombre rationnel est périodique.

Compléments

• Le nombre $\frac{2}{3}$ est rationnel et son écriture décimale est périodique : 0,666…, de période 6.

• Les nombres √2, √3 et π sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

Rationnel : écriture décimale périodique ; irrationnel : réel non rationnel

📖 3. Intervalles de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : un ensemble de nombres réels délimité par des bornes, dont l’inclusion dépend de crochets ouverts ou fermés

★ À maîtriser

📌 Dans la notation d’un intervalle, un crochet fermé signifie que la borne appartient à l’intervalle, tandis qu’un crochet ouvert signifie qu’elle n’y appartient pas.

📌 En −∞ et en +∞, le crochet est toujours ouvert.

Compléments

• Les inégalités 2 ≤ x ≤ 4, −1 < x ≤ 3, 0 ≤ x < 2 et 2 < x < 4 correspondent respectivement aux intervalles [2 ; 4], ]−1 ; 3], [0 ; 2[ et ]2 ; 4[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 4. Union et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : l’ensemble des nombres réels appartenant à I et à J
• Union : l’ensemble des nombres réels appartenant à I ou à J

📝 Points essentiels

• Pour I = [−1 ; 4] et J = ]−4 ; 1[, on a I ∩ J = [−1 ; 1[.

💡 Astuce mémo

Intersection = « et » ; union = « ou »

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : égale à a si a est positif et à −a si a est négatif
• Distance sur une droite : le nombre |a − b|

★ À maîtriser

📌 Pour a réel et r positif, la condition |x − a| ≤ r équivaut à x ∈ [a − r ; a + r].

Compléments

• La valeur absolue de −5 est |−5| = 5 et celle de 8 est |8| = 8.

• La distance entre −1,5 et 4 est |−1,5 − 4| = |−5,5| = 5,5.

• La condition |x − 5| ≤ 2 équivaut à x ∈ [3 ; 7], ce qui signifie que la distance entre x et 5 est inférieure ou égale à 2.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un point à l’origine ou entre deux points

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres