Fiche de révision : Ensembles de nombres et valeur absolue

📋 Plan du Cours

1. Les différents ensembles de nombres
2. Inclusions et appartenance
3. Encadrement et arrondi
4. Démonstrations par l’absurde

📖 1. Les différents ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres de l’ensemble N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
• Entiers relatifs : Nombres de l’ensemble Z = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
• Nombres décimaux : Nombre à virgule ayant une écriture décimale finie, qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a ∈ Z et n ∈ N.
• Nombres rationnels : Quotient de deux entiers relatifs $\frac{a}{b}$, où b est non nul ; l’ensemble des rationnels est noté Q.
• Nombres réels : Nombres de l’ensemble R, qui contient les rationnels et les irrationnels.
• Nombres irrationnels : Les nombres irrationnels sont des nombres tels que π, √2, √3 et -√7, qui ne sont pas rationnels.

💡 Astuce mémo

Du plus petit au plus large : N → Z → D → Q → R.

📖 2. Inclusions et appartenance

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

📌 Le symbole ⊂ signifie qu’un ensemble est inclus dans un autre, tandis que le symbole ∈ signifie qu’un élément appartient à un ensemble.

Compléments

• Le nombre 5 est naturel, donc il est aussi relatif, rationnel et réel.

• Le nombre -7 est un entier relatif, 0,356 est un nombre décimal, 1/3 est un nombre rationnel, -15/3 est un entier relatif et √0,01 est un nombre décimal.

💡 Astuce mémo

⊂ relie deux ensembles, tandis que ∈ relie un nombre à un ensemble.

📖 3. Encadrement et arrondi

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Trouver deux nombres a et b tels que a < x < b.
• Arrondi : Valeur la plus proche à une précision donnée.

★ À maîtriser

• L’amplitude de l’encadrement a < x < b est la différence $b-a$.

Compléments

• L’encadrement 3,1 < π < 3,2 a une amplitude de 10^-1, et 3,1 est l’arrondi de π à 10^-1 car cette valeur est la plus proche de π.

💡 Astuce mémo

Encadrer donne deux bornes ; arrondir donne la valeur la plus proche.

📖 4. Démonstrations par l’absurde

📝 Points essentiels

• Pour démontrer par l’absurde qu’une proposition est fausse, on suppose d’abord cette proposition vraie, puis on déduit une contradiction, ce qui permet de conclure que l’hypothèse de départ est fausse.

• Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on suppose 1/3 = a/10^p, on obtient 10^p = 3a, puis on constate que 10^p serait divisible par 3 alors que la somme de ses chiffres vaut 1.

• Pour démontrer que √2 est irrationnel, on suppose √2 = a/b avec a et b premiers entre eux et b non nul, puis a² = 2b² impose que a et b soient tous deux pairs, ce qui contredit le fait qu’ils soient premiers entre eux.

💡 Astuce mémo

Hypothèse → contradiction → hypothèse fausse.