Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Les formes d’un polynôme
2. Déterminer une expression
3. Variations d’une forme développée
4. Variations et sommet

📖 1. Les formes d’un polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : La forme développée d’une fonction polynôme du second degré est $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’une fonction polynôme du second degré est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📖 2. Déterminer une expression

★ À maîtriser

• Pour déterminer les paramètres d’un polynôme du second degré à partir d’un graphique, on lit d’abord le signe de a, puis les valeurs de c, x₁, x₂, α et β, avant d’utiliser une forme de la fonction pour calculer a.

• Dans l’exemple graphique, on lit $c=6$, $x_1=-3$, $x_2=1$, $\alpha=-1$ et $\beta=8$, puis la forme factorisée donne $6=a(0-(-3))(0-1)=-3a$, d’où $a=-2$.

• Deux expressions possibles satisfaisant les informations données sont $f_1(x)=-x^2+5x-2$ et $f_2(x)=-2x^2+10x-2$.

Compléments

• Lorsque les antécédents de -2 sont 0 et 5 et que f(0)=-2, les coefficients vérifient $25a+5b=0$, donc $5a+b=0$.

💡 Astuce mémo

Lecture graphique → informations → calcul de a

📖 3. Variations d’une forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction quadratique négative : Pour $f(x)=-4x^2+1$, la fonction est croissante sur $]-\infty;0]$ et décroissante sur $[0;+\infty[$.

★ À maîtriser

• Pour démontrer que $f(x)=-4x^2+1$ est croissante sur $]-\infty;0]$, on prend $a<b\leq0$, puis on utilise $a^2>b^2$ pour obtenir $-4a^2<-4b^2$ et finalement $f(a)<f(b)$.

Compléments

• La valeur maximale de $f(x)=-4x^2+1$ est 1, atteinte en x=0.

💡 Astuce mémo

Signe négatif devant x² → parabole tournée vers le bas

📖 4. Variations et sommet

📝 Points essentiels

• Pour démontrer la croissance de $f(x)=-2(x+7)^2-1$ sur $]-\infty;-7]$, on prend $a<b\leq-7$, puis on compare $a+7$ et $b+7$ afin d’obtenir $f(a)<f(b)$.

• Pour $f(x)=-2(x+7)^2-1$, l’axe de symétrie de la courbe est la droite $x=-7$ et le sommet est $S(-7;-1)$.

💡 Astuce mémo

À gauche de l’axe : croissance ; à droite : décroissance

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres selon la forme