Fiche de révision : Ensembles et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques fondamentaux
2. Nombres naturels et relatifs
3. Nombres décimaux rationnels réels
4. Intervalles de nombres réels
5. Réunion et intersection

📖 1. Ensembles numériques fondamentaux

📝 Points essentiels

• Les principaux ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Nombres naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : Nombres qui servent à compter et appartiennent à l’ensemble N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
• Nombres entiers relatifs : Nombres égaux à un entier naturel ou à l’opposé d’un entier naturel, et constituent l’ensemble Z.

📝 Points essentiels

• Les nombres -3 et 8 appartiennent à Z, tandis que 1,5 n’appartient pas à Z.

💡 Astuce mémo

N compte sans signe, Z ajoute les opposés

📖 3. Nombres décimaux rationnels réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Quotients d’un entier relatif par une puissance de dix, selon $d = \frac{a}{10^n}$.
• Nombres rationnels : Quotients d’un entier relatif par un entier naturel non nul, selon $q = \frac{a}{b}$.
• Nombres réels : Nombres rationnels et nombres irrationnels, comme π et √2, qui correspondent aux points d’une droite graduée.

📝 Points essentiels

• On a $\frac{18636}{10^3}=18{,}636=18+0{,}636$, et $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$ est un nombre décimal.

• Le nombre $-\frac{437}{22}=-19{,}86363636363...$ est rationnel et possède une écriture décimale périodique infinie.

💡 Astuce mémo

Écriture finie → décimal ; quotient d’entiers → rationnel ; rationnel ou irrationnel → réel

📖 4. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle borné : Pour deux réels a < b, un intervalle borné est un sous-ensemble de R compris entre les bornes a et b, avec chaque borne éventuellement incluse ou exclue.
• Intervalles non bornés : Les intervalles non bornés utilisent +∞ ou -∞, qui ne sont pas des nombres, et comprennent [a ; +∞[, ]a ; +∞[, ]-∞ ; b] et ]-∞ ; b[.

★ À maîtriser

📌 Les notations [a ; b], [a ; b[, ]a ; b] et ]a ; b[ correspondent respectivement à a ≤ x ≤ b, a ≤ x < b, a < x ≤ b et a < x < b.

📌 Un crochet tourné vers l’intérieur ferme la borne et signifie qu’elle appartient à l’intervalle, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur l’exclut.

Compléments

• On note ]-∞ ; +∞[ = R, ]-∞ ; 0] = R- et [0 ; +∞[ = R+.

💡 Astuce mémo

Un crochet intérieur capture la borne, un crochet extérieur la laisse dehors

📖 5. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion : Ensemble des éléments appartenant à E ou à F, noté E ∪ F.
• Intersection : Ensemble des éléments appartenant à E et à F, noté E ∩ F.

★ À maîtriser

📌 Si tous les éléments d’un ensemble E appartiennent aussi à un ensemble F, alors E est inclus dans F, ce qui se note E ⊂ F.

Compléments

• Pour E = {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7} et F = {0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, on obtient E ∪ F = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7} et E ∩ F = {2 ; 3 ; 5}.

• L’ensemble vide est l’ensemble ne contenant aucun élément et se note ∅.

💡 Astuce mémo

Réunion = ou ; intersection = et

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles numériques