Fiche de révision : Techniques de calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Relation d’ordre sur les réels
2. Bornes et extrema des ensembles
3. Intervalles et valeur absolue
4. Fonctions réelles et transformations
5. Monotonie et fonctions bornées
6. Dérivée en un point

📖 1. Relation d’ordre sur les réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Relation réflexive, antisymétrique, transitive et totale

★ À maîtriser

📌 L’ordre sur ℝ est compatible avec l’addition : si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z pour tout réel z.

📌 L’ordre sur ℝ est compatible avec la multiplication par un réel positif : si x ≤ y et z ≥ 0, alors xz ≤ yz.

Compléments

📌 Si x ≤ y et z ≤ t, alors x + z ≤ y + t.

💡 Astuce mémo

RAT : réflexivité, antisymétrie, transitivité

📖 2. Bornes et extrema des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Réel tel que tout élément x de X vérifie x ≤ a
• Minorant : Réel tel que tout élément x de X vérifie x ≥ a
• Partie bornée : À la fois majorée et minorée
• Maximum : Élément a de X tel que tout élément x de X vérifie x ≤ a
• Minimum : Élément a de X tel que tout élément x de X vérifie x ≥ a

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous

📖 3. Intervalles et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie X de ℝ telle que, pour tous a et b de X avec a < b, tout réel x vérifiant a < x < b appartient aussi à X
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est le réel positif défini par $|x|=\max(x,-x)$.
• Distance : La distance entre deux réels a et b est la valeur absolue de leur différence : $d(a,b)=|a-b|$.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel x et tout réel positif r, la condition |x − a| ≤ r est équivalente à x ∈ [a − r,a + r].

📌 Pour tous réels x et y, les inégalités triangulaires sont |x + y| ≤ |x| + |y| et ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure une distance sur une droite graduée

📖 4. Fonctions réelles et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Association à chaque élément x d’une partie non vide D de ℝ d’un unique nombre réel f(x)
• Domaine de définition : Ensemble des réels x pour lesquels f(x) est défini

★ À maîtriser

📌 Si f est T-périodique, alors f(x + T) = f(x) pour tout x de son domaine et son graphe est invariant par translation de vecteur (T,0).

Compléments

• Le graphe de la fonction x ↦ f(−x) se déduit de celui de f par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

• Le graphe de la fonction x ↦ −f(x) se déduit de celui de f par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

📌 Le graphe de la fonction x ↦ f(x) + a se déduit de celui de f par translation de vecteur (0,a).

📌 Pour a réel non nul, le graphe de la fonction x ↦ f(ax) se déduit de celui de f par la transformation (x,y) ↦ (x/a,y).

💡 Astuce mémo

Réflexion, translation, homothétie

📖 5. Monotonie et fonctions bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Une fonction f est monotone croissante si x ≤ y implique f(x) ≤ f(y), et elle est monotone décroissante si x ≤ y implique f(x) ≥ f(y).
• Fonction majorée : Une fonction f est majorée s’il existe M ∈ ℝ tel que f(x) ≤ M pour tout x de son domaine.
• Fonction bornée : Une fonction f est bornée s’il existe M ∈ ℝ+ tel que |f(x)| ≤ M pour tout x de son domaine.
• Maximum d’une fonction : Une fonction f admet un maximum en a de son domaine si f(x) ≤ f(a) pour tout x de son domaine.

📝 Points essentiels

📌 La composée de deux fonctions monotones est monotone lorsque leurs variations sont compatibles.

💡 Astuce mémo

Fonction majorée au-dessus, minorée au-dessous

📖 6. Dérivée en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f en a est la fonction définie par $T_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ pour x différent de a.
• Dérivabilité : Une fonction f est dérivable en a si son taux d’accroissement admet une limite finie lorsque x tend vers a.
• Nombre dérivé : Lorsque cette limite existe, elle est appelée nombre dérivé de f en a et se note f′(a) ou D(f)(a).
• Fonction dérivée : La fonction dérivée de f associe à chaque point où f est dérivable son nombre dérivé.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → nombre dérivé

📊 Tableaux de synthèse

Bornes et extrema