QCM : Techniques de calcul numérique — 18 questions

Question 1

1. Quelles propriétés caractérisent une relation d’ordre totale sur $\mathbb{R}$ ?

Elle est symétrique, transitive, bornée et totale

Elle est réflexive, antisymétrique, transitive et totale

Elle est réflexive, symétrique, continue et transitive

Elle est antisymétrique, discontinue, réflexive et bornée

Explication

Une relation d’ordre totale possède les propriétés de réflexivité, d’antisymétrie, de transitivité et de totalité. La symétrie ne fait pas partie de ces propriétés, car elle contredirait généralement l’antisymétrie.

Answer

Elle est réflexive, antisymétrique, transitive et totale

Question 2

2. Si $x\leq y$ et si $z$ est un réel quelconque, quelle conclusion est valide ?

x+z\geq y+z

xz\geq yz

x+z\leq y+z

xz\leq yz

Explication

L’addition d’un même réel aux deux membres conserve l’ordre, donc $x+z\leq y+z$ . Les conclusions portant sur une multiplication nécessitent de connaître le signe de $z$ .

Answer

$$x+z\leq y+z$$

Question 3

3. Sachant que $x\leq y$ et $z\geq0$ , quelle inégalité peut-on déduire ?

x+z\geq y+z

x-z\leq y-z

xz\geq yz

xz\leq yz

Explication

La multiplication par un réel positif ou nul conserve l’ordre, ce qui donne $xz\leq yz$ . Une multiplication par un réel négatif inverserait l’ordre, mais cette situation n’est pas celle proposée.

Answer

$$xz\leq yz$$

Question 4

4. Quelle condition définit un majorant $a$ d’une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ?

Le réel

a

appartient nécessairement à

X

Tout élément

x

de

X

vérifie

x\leq a

Tout élément

x

de

X

vérifie

x\geq a

Le réel

a

est le plus petit élément de

X

Explication

Un majorant est un réel situé au-dessus ou au niveau de tous les éléments de $X$ , donc $x\leq a$ pour tout $x\in X$ . Il n’a pas besoin d’appartenir à $X$ , contrairement à un maximum.

Answer

Tout élément $$x$$ de $$X$$ vérifie $$x\leq a$$

Question 5

5. Quelle propriété caractérise un minorant $a$ d’une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ?

Le réel

a

appartient nécessairement à

X

Le réel

a

est le plus grand élément de

X

Tout élément

x

de

X

vérifie

x\geq a

Tout élément

x

de

X

vérifie

x\leq a

Explication

Un minorant est placé en dessous de tous les éléments de $X$ , ce qui signifie que $x\geq a$ pour tout $x\in X$ . La condition $x\leq a$ décrit un majorant et non un minorant.

Answer

Tout élément $$x$$ de $$X$$ vérifie $$x\geq a$$

Question 6

6. Quand une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est-elle dite bornée ?

Lorsqu’elle possède un maximum dans

\mathbb{R}

Lorsqu’elle contient ses deux bornes extrêmes

Lorsqu’elle est formée d’un nombre fini d’éléments

Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée

Explication

Une partie est bornée lorsqu’il existe à la fois un majorant et un minorant pour cette partie. Elle peut être bornée sans posséder de maximum ni de minimum, et elle peut aussi contenir une infinité d’éléments.

Answer

Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée

Question 7

7. Pour une partie non vide $X$ , quelle condition fait de $a\in X$ son maximum ?

Tout élément

x

de

X

vérifie

x\leq a

Le réel

a

est un minorant situé sous

X

Tout élément

x

de

X

vérifie

x\geq a

Le réel

a

est un majorant situé hors de

X

Explication

Le maximum est un élément de $X$ qui est supérieur ou égal à tous les autres éléments de cette partie. Un simple majorant peut être extérieur à $X$ , ce qui ne suffit donc pas pour être un maximum.

Answer

Tout élément $$x$$ de $$X$$ vérifie $$x\leq a$$

Question 8

8. Quelle propriété caractérise une partie $X$ de $\mathbb{R}$ qui est un intervalle ?

Tout élément de

X

possède un élément immédiatement supérieur dans

X

La partie

X

possède une borne supérieure appartenant à

X

Tout réel situé entre deux éléments de

X

appartient à

X

La partie

X

contient un nombre fini de réels consécutifs

Explication

Un intervalle contient tout réel strictement compris entre deux de ses éléments. Une partie discontinue peut posséder des bornes ou être infinie sans satisfaire cette propriété.

Answer

Tout réel situé entre deux éléments de $$X$$ appartient à $$X$$

Question 9

9. Quelle expression définit la valeur absolue d’un réel $x$ ?

|x|=\max(x,-x)

|x|=-x

pour tout réel

x

|x|=x

pour tout réel

x

|x|=\min(x,-x)

Explication

La valeur absolue est définie par $|x|=\max(x,-x)$ et elle est donc positive ou nulle. Les expressions $|x|=x$ ou $|x|=-x$ ne conviennent respectivement que selon le signe de $x$ .

Answer

$$|x|=\max(x,-x)$$

Question 10

10. Comment exprime-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

d(a,b)=|a-b|

d(a,b)=a-b

d(a,b)=|a+b|

d(a,b)=a+b

Explication

La distance entre $a$ et $b$ est la valeur absolue de leur différence, soit $d(a,b)=|a-b|$ . La valeur absolue garantit que la distance reste positive ou nulle, quel que soit l’ordre de $a$ et $b$ .

Answer

$$d(a,b)=|a-b|$$

Question 11

11. Quelle propriété caractérise une fonction réelle définie sur une partie non vide de $\mathbb{R}$ ?

Elle associe à chaque réel une image, même hors de son domaine

Elle associe à chaque antécédent autorisé une unique image réelle

Elle associe à chaque antécédent autorisé une famille d’images réelles

Elle associe à chaque image réelle plusieurs antécédents autorisés

Explication

Une fonction réelle attribue une unique valeur réelle à chaque élément de son domaine. Une relation générale peut, elle, associer plusieurs images à un même antécédent.

Answer

Elle associe à chaque antécédent autorisé une unique image réelle

Question 12

12. Pour une fonction $f$ , que représente son domaine de définition ?

L’ensemble des valeurs réelles obtenues par les images de

f

L’ensemble des réels qui possèdent une image maximale par

f

L’ensemble des réels pour lesquels

f(x)

est défini

L’ensemble des valeurs prises par

f

lorsque

x

est positif

Explication

Le domaine de définition regroupe les antécédents pour lesquels l’expression $f(x)$ a un sens. L’ensemble des valeurs obtenues par la fonction correspond plutôt à son image.

Answer

L’ensemble des réels pour lesquels $$f(x)$$ est défini

Question 13

13. Si une fonction $f$ est $T$ -périodique, quelle affirmation est correcte ?

On a

f(x+T)=f(x)

et le graphe est invariant par translation de vecteur

(T,0)

On a

f(x-T)=-f(x)

et le graphe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses

On a

f(Tx)=f(x)

et le graphe est invariant par homothétie de rapport

T

On a

f(x+T)=f(x)+T

et le graphe est invariant par translation de vecteur

(0,T)

Explication

La périodicité de période $T$ signifie que la valeur se répète après une translation horizontale de longueur $T$ . Les autres relations décrivent des transformations différentes de la périodicité.

Answer

On a $$f(x+T)=f(x)$$ et le graphe est invariant par translation de vecteur $$(T,0)$$

Question 14

14. Quelle condition définit une fonction monotone croissante sur son domaine ?

Pour

x\le y

, on a

f(x)\le f(y)

Pour

x\le y

, les valeurs

f(x)

et

f(y)

sont de signes opposés

Pour

x\le y

, on a

f(x)=f(y)

Pour

x\le y

, on a

f(x)\ge f(y)

Explication

Une fonction croissante conserve l’ordre des arguments : un argument plus grand donne une image au moins aussi grande. L’inégalité inversée caractérise une fonction décroissante.

Answer

Pour $$x\le y$$, on a $$f(x)\le f(y)$$

Question 15

15. Une fonction vérifie $|f(x)|\le 7$ pour tout $x$ de son domaine. Que peut-on en déduire ?

Elle est majorée, mais sa minoration reste impossible à conclure

Elle est croissante, car ses valeurs restent dans un intervalle fini

Elle possède un maximum atteint en un point de son domaine

Elle est bornée, donc à la fois majorée et minorée

Explication

L’inégalité $|f(x)|\le7$ entraîne $-7\le f(x)\le7$ , donc la fonction est à la fois majorée et minorée. Une borne uniforme ne garantit ni l’existence d’un maximum atteint ni la monotonie.

Answer

Elle est bornée, donc à la fois majorée et minorée

Question 16

16. Pour $x\ne a$ , quelle expression définit le taux d’accroissement de $f$ en $a$ ?

T_a(x)=f(x)-f(a)

T_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

T_a(x)=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}

T_a(x)=\frac{f(x)+f(a)}{x+a}

Explication

Le taux d’accroissement compare la variation des valeurs de la fonction à la variation des arguments entre $a$ et $x$ . Il dépend donc de $x$ , contrairement au nombre dérivé obtenu par passage à la limite.

Answer

$$T_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Question 17

17. Quelle condition caractérise la dérivabilité de $f$ en $a$ ?

La fonction est définie sur tous les réels autour de

a

Le taux d’accroissement devient nécessairement nul lorsque

x

tend vers

a

La fonction possède une valeur maximale au point

a

Le taux d’accroissement admet une limite finie lorsque

x

tend vers

a

Explication

La fonction est dérivable en $a$ lorsque son taux d’accroissement possède une limite finie en ce point. Cette limite n’est pas forcément nulle et la dérivabilité ne signifie pas que $a$ est un extremum.

Answer

Le taux d’accroissement admet une limite finie lorsque $$x$$ tend vers $$a$$

Question 18

18. Comment note-t-on la limite du taux d’accroissement lorsque $x$ tend vers $a$ ?

f'(a)

ou

D(f)(a)

T_a(a)

ou

f(a)

f''(a)

ou

D^2(f)(a)

f(a)'

ou

D(a)(f)

Explication

Lorsque cette limite existe, elle est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ ou $D(f)(a)$ . Le symbole $f''(a)$ désigne plutôt une dérivée seconde lorsqu’elle est définie.

Answer

$$f'(a)$$ ou $$D(f)(a)$$

QCM : Techniques de calcul numérique — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles propriétés caractérisent une relation d’ordre totale sur $\mathbb{R}$ ?

2. Si $x\leq y$ et si $z$ est un réel quelconque, quelle conclusion est valide ?

3. Sachant que $x\leq y$ et $z\geq0$ , quelle inégalité peut-on déduire ?

4. Quelle condition définit un majorant $a$ d’une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ?

5. Quelle propriété caractérise un minorant $a$ d’une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ?

6. Quand une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est-elle dite bornée ?

7. Pour une partie non vide $X$ , quelle condition fait de $a\in X$ son maximum ?

8. Quelle propriété caractérise une partie $X$ de $\mathbb{R}$ qui est un intervalle ?

9. Quelle expression définit la valeur absolue d’un réel $x$ ?

10. Comment exprime-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

11. Quelle propriété caractérise une fonction réelle définie sur une partie non vide de $\mathbb{R}$ ?

12. Pour une fonction $f$ , que représente son domaine de définition ?

13. Si une fonction $f$ est $T$ -périodique, quelle affirmation est correcte ?

14. Quelle condition définit une fonction monotone croissante sur son domaine ?

15. Une fonction vérifie $|f(x)|\le 7$ pour tout $x$ de son domaine. Que peut-on en déduire ?

16. Pour $x\ne a$ , quelle expression définit le taux d’accroissement de $f$ en $a$ ?

17. Quelle condition caractérise la dérivabilité de $f$ en $a$ ?

18. Comment note-t-on la limite du taux d’accroissement lorsque $x$ tend vers $a$ ?

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QCM : Techniques de calcul numérique — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles propriétés caractérisent une relation d’ordre totale sur R\mathbb{R}R ?

2. Si x≤yx\leq yx≤y et si zzz est un réel quelconque, quelle conclusion est valide ?

3. Sachant que x≤yx\leq yx≤y et z≥0z\geq0z≥0, quelle inégalité peut-on déduire ?

4. Quelle condition définit un majorant aaa d’une partie XXX de R\mathbb{R}R ?

5. Quelle propriété caractérise un minorant aaa d’une partie XXX de R\mathbb{R}R ?

6. Quand une partie XXX de R\mathbb{R}R est-elle dite bornée ?

7. Pour une partie non vide XXX, quelle condition fait de a∈Xa\in Xa∈X son maximum ?

8. Quelle propriété caractérise une partie XXX de R\mathbb{R}R qui est un intervalle ?

9. Quelle expression définit la valeur absolue d’un réel xxx ?

10. Comment exprime-t-on la distance entre deux réels aaa et bbb ?

11. Quelle propriété caractérise une fonction réelle définie sur une partie non vide de R\mathbb{R}R ?

12. Pour une fonction fff, que représente son domaine de définition ?

13. Si une fonction fff est TTT-périodique, quelle affirmation est correcte ?

14. Quelle condition définit une fonction monotone croissante sur son domaine ?

15. Une fonction vérifie ∣f(x)∣≤7|f(x)|\le 7∣f(x)∣≤7 pour tout xxx de son domaine. Que peut-on en déduire ?

16. Pour x≠ax\ne ax=a, quelle expression définit le taux d’accroissement de fff en aaa ?

17. Quelle condition caractérise la dérivabilité de fff en aaa ?

18. Comment note-t-on la limite du taux d’accroissement lorsque xxx tend vers aaa ?

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1. Quelles propriétés caractérisent une relation d’ordre totale sur $\mathbb{R}$ ?

2. Si $x\leq y$ et si $z$ est un réel quelconque, quelle conclusion est valide ?

3. Sachant que $x\leq y$ et $z\geq0$ , quelle inégalité peut-on déduire ?

4. Quelle condition définit un majorant $a$ d’une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ?

5. Quelle propriété caractérise un minorant $a$ d’une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ?

6. Quand une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est-elle dite bornée ?

7. Pour une partie non vide $X$ , quelle condition fait de $a\in X$ son maximum ?

8. Quelle propriété caractérise une partie $X$ de $\mathbb{R}$ qui est un intervalle ?

9. Quelle expression définit la valeur absolue d’un réel $x$ ?

10. Comment exprime-t-on la distance entre deux réels $a$ et $b$ ?

11. Quelle propriété caractérise une fonction réelle définie sur une partie non vide de $\mathbb{R}$ ?

12. Pour une fonction $f$ , que représente son domaine de définition ?

13. Si une fonction $f$ est $T$ -périodique, quelle affirmation est correcte ?

15. Une fonction vérifie $|f(x)|\le 7$ pour tout $x$ de son domaine. Que peut-on en déduire ?

16. Pour $x\ne a$ , quelle expression définit le taux d’accroissement de $f$ en $a$ ?

17. Quelle condition caractérise la dérivabilité de $f$ en $a$ ?

18. Comment note-t-on la limite du taux d’accroissement lorsque $x$ tend vers $a$ ?