QCM : Fonctions polynômes du second degré — 10 questions

Question 1

1. Quelle écriture correspond à la forme développée d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

f(x)=a(x+\alpha)^2-\beta

Explication

La forme développée explicite les termes en puissances de $x$ sous la structure $ax^2+bx+c$ . La forme factorisée fait apparaître les racines, tandis que la forme canonique met en évidence le sommet.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Question 2

2. Quelle forme d’un polynôme du second degré fait apparaître directement ses racines $x_1$ et $x_2$ ?

La forme développée

ax^2+bx+c

La forme canonique

a(x-\alpha)^2+\beta

La forme réduite

a(x+\alpha)^2-\beta

La forme factorisée

a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

La forme factorisée contient les facteurs associés à $x_1$ et $x_2$ , qui sont les racines du polynôme. La forme développée présente plutôt les coefficients des puissances de $x$ .

Answer

La forme factorisée $$a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 3

3. Quelle expression est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

f(x)=a(x-\alpha)(x+\beta)

f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ et permet notamment d’identifier les coordonnées du sommet. L’expression $a(x-x_1)(x-x_2)$ est la forme factorisée.

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 4

4. Dans quel ordre peut-on déterminer les paramètres d’un polynôme du second degré à partir de son graphique ?

Calculer

a

, relever le sommet, puis déduire les racines à partir de la forme développée

Relever les coefficients développés, choisir le sommet, puis vérifier le signe de

a

Lire le signe de

a

, relever les paramètres graphiques, puis calculer

a

avec une forme adaptée

Lire les racines, développer l’expression, puis déterminer le sommet sans utiliser le graphique

Explication

La méthode consiste à lire d’abord le signe de $a$ , puis $c$ , les racines et les coordonnées du sommet, avant de calculer $a$ avec une forme appropriée. Commencer par calculer $a$ ne respecte pas les informations disponibles sur le graphique.

Answer

Lire le signe de $$a$$, relever les paramètres graphiques, puis calculer $$a$$ avec une forme adaptée

Question 5

5. Pour les valeurs $c=6$ , $x_1=-3$ et $x_2=1$ , quelle valeur obtient-on pour $a$ en utilisant la forme factorisée à $x=0$ ?

a=\frac{1}{2}

a=-2

a=-\frac{1}{2}

a=2

Explication

On utilise $6=a(0+3)(0-1)=-3a$ , ce qui donne $a=-2$ . Les valeurs $x_1$ et $x_2$ sont les racines, alors que $\alpha$ et $\beta$ décrivent les coordonnées du sommet.

Answer

$$f(x)=-x^2+5x-2$$

Answer

Elle est croissante sur $$]-\infty;0]$$ puis décroissante sur $$[0;+\infty[$$

Answer

Montrer que $$a^2>b^2$$, puis que $$-4a^2<-4b^2$$ et donc $$f(a)<f(b)$$

Answer

Choisir $$a<b\leq -7$$, comparer $$a+7$$ et $$b+7$$, puis établir que $$f(a)<f(b)$$

Answer

L’axe est la droite $$x=-7$$ et le sommet est le point $$S(-7;-1)$$

Question 6

6. Laquelle de ces expressions fait partie des deux polynômes pouvant satisfaire les informations données dans l’exemple ?

f(x)=x^2+5x-2

f(x)=-x^2+5x-2

f(x)=-2x^2+5x-2

f(x)=-x^2-5x-2

Explication

Une expression possible est $f_1(x)=-x^2+5x-2$ , et une autre est $f_2(x)=-2x^2+10x-2$ . Les autres propositions modifient le signe ou les coefficients indiqués dans les expressions possibles.

Question 7

7. Quelles sont les variations de $f(x)=-4x^2+1$ ?

Elle est décroissante sur

]-\infty;0]

puis croissante sur

[0;+\infty[

Elle est décroissante sur

]-\infty;+\infty[

avec un minimum en

x=0

Elle est croissante sur

]-\infty;0]

puis décroissante sur

[0;+\infty[

Elle est croissante sur

[0;+\infty[

et décroissante sur

]-\infty;0]

Explication

Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc la parabole est tournée vers le bas : la fonction augmente jusqu’à $x=0$ , puis diminue. La proposition qui décrit une décroissance suivie d’une croissance correspondrait à une parabole tournée vers le haut.

Question 8

8. Pour montrer que $f(x)=-4x^2+1$ est croissante sur $]-\infty;0]$ , quelle comparaison faut-il établir pour $a<b\leq0$ ?

Montrer que

a^2<b^2

, puis que

-4a^2<-4b^2

et donc

f(a)<f(b)

Montrer que

a^2=b^2

, puis que

-4a^2=-4b^2

et donc

f(a)=f(b)

Montrer que

a^2>b^2

, puis que

-4a^2<-4b^2

et donc

f(a)<f(b)

Montrer que

a^2>b^2

, puis que

-4a^2>-4b^2

et donc

f(a)>f(b)

Explication

Pour deux nombres négatifs avec $a<b$ , on a $a^2>b^2$ ; la multiplication par $-4$ inverse alors l’inégalité, ce qui conduit à $f(a)<f(b)$ . L’erreur fréquente consiste à conserver le sens de l’inégalité après une multiplication par un nombre négatif.

Question 9

9. Quel raisonnement permet de démontrer que la fonction $f(x)=-2(x+7)^2-1$ est croissante sur $]-\infty;-7]$ ?

Choisir

a<b\leq -7

, comparer

a^2

et

b^2

, puis établir que

f(a)<f(b)

Choisir

a<b\leq -7

, comparer

a+7

et

b+7

, puis établir que

f(a)>f(b)

Choisir

a<b\leq -7

, comparer

a+7

et

b+7

, puis établir que

f(a)<f(b)

Choisir

a<b\leq -7

, comparer

a+7

et

b+7

, puis établir que

f(a)=f(b)

Explication

Sur cet intervalle, on prend deux nombres $a<b\leq -7$ et on compare leurs écarts à $-7$ pour montrer que les valeurs de la fonction vérifient $f(a)<f(b)$ . L’inégalité inverse décrirait une décroissance, tandis que l’égalité ne permettrait pas de conclure à une croissance stricte.

Question 10

10. Pour la fonction $f(x)=-2(x+7)^2-1$ , quelle distinction décrit correctement l’axe de symétrie et le sommet de sa courbe ?

L’axe est la droite

x=-7

et le sommet est le point

S(-7;-1)

L’axe est la droite

x=-1

et le sommet est le point

S(-7;-1)

L’axe est le point

S(-7;-1)

et le sommet est la droite

x=-7

L’axe est la droite

x=-7

et le sommet est le point

S(-1;-7)

Explication

Dans la forme canonique, le nombre associé à la parenthèse indique l’abscisse de l’axe, tandis que le terme constant donne l’ordonnée du sommet : on obtient donc $x=-7$ et $S(-7;-1)$ . Confondre la droite avec le point inverse les natures géométriques des deux objets.

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture correspond à la forme développée d’une fonction polynôme du second degré ?

2. Quelle forme d’un polynôme du second degré fait apparaître directement ses racines $x_1$ et $x_2$ ?

3. Quelle expression est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

4. Dans quel ordre peut-on déterminer les paramètres d’un polynôme du second degré à partir de son graphique ?

5. Pour les valeurs $c=6$ , $x_1=-3$ et $x_2=1$ , quelle valeur obtient-on pour $a$ en utilisant la forme factorisée à $x=0$ ?

6. Laquelle de ces expressions fait partie des deux polynômes pouvant satisfaire les informations données dans l’exemple ?

7. Quelles sont les variations de $f(x)=-4x^2+1$ ?

8. Pour montrer que $f(x)=-4x^2+1$ est croissante sur $]-\infty;0]$ , quelle comparaison faut-il établir pour $a<b\leq0$ ?

9. Quel raisonnement permet de démontrer que la fonction $f(x)=-2(x+7)^2-1$ est croissante sur $]-\infty;-7]$ ?

10. Pour la fonction $f(x)=-2(x+7)^2-1$ , quelle distinction décrit correctement l’axe de symétrie et le sommet de sa courbe ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture correspond à la forme développée d’une fonction polynôme du second degré ?

2. Quelle forme d’un polynôme du second degré fait apparaître directement ses racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

3. Quelle expression est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

4. Dans quel ordre peut-on déterminer les paramètres d’un polynôme du second degré à partir de son graphique ?

5. Pour les valeurs c=6c=6c=6, x1=−3x_1=-3x1​=−3 et x2=1x_2=1x2​=1, quelle valeur obtient-on pour aaa en utilisant la forme factorisée à x=0x=0x=0 ?

6. Laquelle de ces expressions fait partie des deux polynômes pouvant satisfaire les informations données dans l’exemple ?

7. Quelles sont les variations de f(x)=−4x2+1f(x)=-4x^2+1f(x)=−4x2+1 ?

8. Pour montrer que f(x)=−4x2+1f(x)=-4x^2+1f(x)=−4x2+1 est croissante sur ]−∞;0]]-\infty;0]]−∞;0], quelle comparaison faut-il établir pour a<b≤0a<b\leq0a<b≤0 ?

9. Quel raisonnement permet de démontrer que la fonction f(x)=−2(x+7)2−1f(x)=-2(x+7)^2-1f(x)=−2(x+7)2−1 est croissante sur ]−∞;−7]]-\infty;-7]]−∞;−7] ?

10. Pour la fonction f(x)=−2(x+7)2−1f(x)=-2(x+7)^2-1f(x)=−2(x+7)2−1, quelle distinction décrit correctement l’axe de symétrie et le sommet de sa courbe ?

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2. Quelle forme d’un polynôme du second degré fait apparaître directement ses racines $x_1$ et $x_2$ ?

5. Pour les valeurs $c=6$ , $x_1=-3$ et $x_2=1$ , quelle valeur obtient-on pour $a$ en utilisant la forme factorisée à $x=0$ ?

7. Quelles sont les variations de $f(x)=-4x^2+1$ ?

8. Pour montrer que $f(x)=-4x^2+1$ est croissante sur $]-\infty;0]$ , quelle comparaison faut-il établir pour $a<b\leq0$ ?

9. Quel raisonnement permet de démontrer que la fonction $f(x)=-2(x+7)^2-1$ est croissante sur $]-\infty;-7]$ ?

10. Pour la fonction $f(x)=-2(x+7)^2-1$ , quelle distinction décrit correctement l’axe de symétrie et le sommet de sa courbe ?