QCM : Ensembles et intervalles — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation décrit correctement l’emboîtement des principaux ensembles de nombres ?

N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. L’inclusion inverse proposée dans une autre réponse confond l’ensemble le plus vaste avec le plus restreint.

2. Un nombre appartient à N\mathbb{N} ; dans quels autres ensembles fondamentaux appartient-il nécessairement ?

Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}
D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}, mais pas Z\mathbb{Z}
Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}, mais pas Z\mathbb{Z} ni D\mathbb{D}
Z\mathbb{Z} et R\mathbb{R}, mais pas D\mathbb{D} ni Q\mathbb{Q}

$$\mathbb{Z}$$, $$\mathbb{D}$$, $$\mathbb{Q}$$ et $$\mathbb{R}$$

Explication

L’emboîtement des ensembles implique que tout élément de N\mathbb{N} appartient aussi à Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}. Les autres réponses retirent à tort un ou plusieurs ensembles qui contiennent pourtant N\mathbb{N}.

3. Quelle définition correspond aux nombres entiers naturels ?

Les nombres pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers
Les nombres servant à compter, réunis dans N={0;1;2;3;…}\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}
Les quotients d’un entier relatif par une puissance de dix
Les nombres positifs et négatifs réunis dans Z\mathbb{Z}

Les nombres servant à compter, réunis dans $$\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$$

Explication

Les entiers naturels servent à compter et comprennent 0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots dans l’ensemble N\mathbb{N}. Les quotients par une puissance de dix relèvent des nombres décimaux, tandis que les quotients de deux entiers décrivent les rationnels.

4. Quel nombre appartient à l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z} ?

−3-3
23\frac{2}{3}
2\sqrt{2}
1,51,5

$$-3$$

Explication

Les entiers relatifs comprennent les entiers naturels et leurs opposés ; −3-3 appartient donc à Z\mathbb{Z}. Le nombre 1,51,5 n’est pas entier, et les deux autres écritures ne désignent pas des entiers relatifs.

5. Quelle écriture caractérise un nombre décimal ?

Un point quelconque placé sur une droite graduée
Un nombre dont l’écriture décimale est périodique infinie
q=abq=\frac{a}{b}, avec a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈N∖{0}b\in\mathbb{N}\setminus\{0\}
d=a10nd=\frac{a}{10^n}, avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}

$$d=\frac{a}{10^n}$$, avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un nombre décimal s’écrit comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de dix, soit d=a10nd=\frac{a}{10^n}. La deuxième réponse définit les rationnels en général, qui peuvent avoir une écriture périodique infinie.

6. Pourquoi 34\frac{3}{4} est-il un nombre décimal ?

Parce que tout quotient de deux entiers est un nombre décimal
Parce que 34=75100\frac{3}{4}=\frac{75}{100}, avec une puissance de dix au dénominateur
Parce que 34\frac{3}{4} possède une écriture décimale périodique infinie
Parce que son dénominateur est un entier naturel supérieur à zéro

Parce que $$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$$, avec une puissance de dix au dénominateur

Explication

Le quotient 34\frac{3}{4} est décimal puisqu’il peut s’écrire 75100\frac{75}{100}, dont le dénominateur est une puissance de dix. Être un quotient de deux entiers suffit à être rationnel, mais ne garantit pas une écriture décimale finie.

7. Quelle affirmation décrit correctement les nombres réels ?

Ils sont les nombres dont l’écriture décimale est périodique infinie
Ils regroupent les rationnels et les irrationnels et correspondent aux points d’une droite graduée
Ils sont les quotients d’un entier relatif par une puissance de dix
Ils regroupent les naturels et les relatifs, mais excluent les nombres irrationnels

Ils regroupent les rationnels et les irrationnels et correspondent aux points d’une droite graduée

Explication

Les réels comprennent les nombres rationnels et les irrationnels, comme π\pi et 2\sqrt{2}, et peuvent être représentés par les points d’une droite graduée. Une écriture périodique infinie caractérise ici un rationnel, pas l’ensemble des réels.

8. Pour deux réels a<ba < b, quelle caractéristique définit un intervalle borné ?

C’est un ensemble de nombres entiers compris entre deux bornes nécessairement incluses
C’est un sous-ensemble de R\mathbb{R} compris entre deux bornes, éventuellement incluses ou exclues
C’est un sous-ensemble de R\mathbb{R} situé au-delà d’une seule borne, sans limite opposée
C’est un ensemble de nombres réels dont les deux bornes sont nécessairement exclues

C’est un sous-ensemble de $$\mathbb{R}$$ compris entre deux bornes, éventuellement incluses ou exclues

Explication

Un intervalle borné regroupe les réels situés entre deux bornes aa et bb, dont l’inclusion dépend de la notation choisie. La présence de deux bornes n’impose donc pas qu’elles soient toutes deux incluses ou toutes deux exclues.

9. Quelle inégalité correspond à l’intervalle [a ; b[[a\ ;\ b[ lorsque a<ba < b ?

a≤x<ba \leq x < b
a<x<ba < x < b
a<x≤ba < x \leq b
a≤x≤ba \leq x \leq b

$$a \leq x < b$$

Explication

Le crochet fermé près de aa inclut cette borne, tandis que le crochet ouvert près de bb l’exclut, d’où a≤x<ba \leq x < b. L’inégalité a<x≤ba < x \leq b correspond à la notation opposée, ]a ; b]]a\ ;\ b].

10. Dans quelle notation les deux bornes sont-elles exclues de l’intervalle ?

[a ; b[[a\ ;\ b[
[a ; b][a\ ;\ b]
]a ; b]]a\ ;\ b]
]a ; b[]a\ ;\ b[

$$]a\ ;\ b[$$

Explication

Les crochets tournés vers l’extérieur dans ]a ; b[]a\ ;\ b[ indiquent que aa et bb n’appartiennent pas à l’intervalle. La notation [a ; b][a\ ;\ b] inclut au contraire les deux bornes.

11. Quelle proposition décrit correctement les intervalles non bornés ?

Ils incluent nécessairement la borne infinie indiquée à l’une de leurs extrémités
Ils utilisent +∞+\infty ou −∞-\infty, qui ne sont pas des nombres
Ils utilisent une borne infinie qui représente un nombre réel très grand ou très petit
Ils possèdent deux bornes réelles finies, même lorsque leur notation contient l’infini

Ils utilisent $$+\infty$$ ou $$-\infty$$, qui ne sont pas des nombres

Explication

Les intervalles non bornés s’écrivent avec +∞+\infty ou −∞-\infty, lesquels ne sont pas des nombres réels. Ils permettent d’indiquer qu’un intervalle se prolonge sans borne finie dans une direction.

12. Que représente la réunion de deux ensembles EE et FF ?

L’ensemble des éléments qui n’appartiennent ni à EE ni à FF
L’ensemble des éléments appartenant à EE ou à FF
L’ensemble des éléments qui appartiennent à EE mais pas à FF
L’ensemble des éléments appartenant à la fois à EE et à FF

L’ensemble des éléments appartenant à $$E$$ ou à $$F$$

Explication

La réunion E∪FE \cup F rassemble les éléments présents dans EE ou dans FF, y compris ceux qui appartiennent aux deux ensembles. Les éléments communs seuls constituent l’intersection E∩FE \cap F.

13. Pour E={1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7}E = \{1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 5\ ;\ 7\} et F={0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}F = \{0\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\}, quelle est leur intersection ?

{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7}\{0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 7\}
{1 ; 4 ; 7}\{1\ ;\ 4\ ;\ 7\}
{2 ; 3 ; 5}\{2\ ;\ 3\ ;\ 5\}
{0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7}\{0\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 7\}

$$\{2\ ;\ 3\ ;\ 5\}$$

Explication

L’intersection contient les éléments présents dans les deux ensembles, soit 22, 33 et 55. L’ensemble comportant tous les éléments distincts de EE et FF correspond à leur réunion, pas à leur intersection.

14. Si chaque élément d’un ensemble EE appartient aussi à un ensemble FF, quelle relation peut-on écrire ?

E∪F=∅E \cup F = \varnothing
E⊂FE \subset F
F⊂EF \subset E
E∩F=∅E \cap F = \varnothing

$$E \subset F$$

Explication

Lorsque tous les éléments de EE appartiennent également à FF, on dit que EE est inclus dans FF et l’on écrit E⊂FE \subset F. La relation inverse ne découle pas de cette information, et l’intersection n’est pas nécessairement vide.

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Quelle est la relation d'inclusion entre les ensembles N, Z, D, Q et R ?

N est inclus dans Z, qui est inclus dans D, puis Q, puis R.

Que sont les nombres entiers naturels ?

Ce sont les nombres qui servent à compter et appartiennent à N.

À quel ensemble appartiennent les nombres entiers naturels ?

Ils appartiennent à l'ensemble N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.

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