Fiche de révision : Ensembles de nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Nombres décimaux et notation scientifique
2. Nombres rationnels et raisonnement
3. Nombres irrationnels et racines carrées
4. Nombres réels et inclusions
5. Nature et encadrement des nombres

📖 1. Nombres décimaux et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10.

★ À maîtriser

📌 Tout entier relatif est un nombre décimal, ce qui se traduit par l’inclusion $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.

📌 Tout nombre décimal positif s’écrit sous forme scientifique $a \times 10^n$, où $n \in \mathbb{Z}$ et $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$.

Compléments

• Un nombre décimal possède une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

• La vitesse de la lumière est de 299792458 m/s, soit environ $3 \times 10^8$ m/s ou $3 \times 10^5$ km/s.

📖 2. Nombres rationnels et raisonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.
• Fraction irréductible : Fraction dont le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1.
• Réciproque : La réciproque d’une implication « Si P, alors Q » est l’implication « Si Q, alors P ».

★ À maîtriser

📌 Tout nombre décimal est rationnel, ce qui se traduit par l’inclusion $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

• Pour réfuter une affirmation, un contre-exemple vérifie l’hypothèse de l’affirmation sans en vérifier la conclusion.

Compléments

• Toute fraction peut s’écrire sous forme de fraction irréductible.

💡 Astuce mémo

Une implication vraie n’entraîne pas sa réciproque : décimal ⇒ rationnel, mais 1/3 réfute l’inverse.

📖 3. Nombres irrationnels et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Nombre qui admet une écriture décimale non périodique avec une infinité de chiffres après la virgule.
• Racine carrée : Pour un réel positif $a$, l’unique réel positif dont le carré est $a$.

★ À maîtriser

📌 Si un entier naturel $n$ est un carré parfait, $n=k^2$ pour un entier $k$ et $\sqrt{n}=k$ ; sinon, sa racine carrée est irrationnelle.

📐 Formule - Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.

Compléments

• Les nombres $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ et $\sqrt{6}$ sont des exemples de nombres irrationnels.

📖 4. Nombres réels et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : Ensemble formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres selon $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

📌 Donner la nature d’un nombre consiste à préciser le plus petit ensemble auquel il appartient dans le diagramme des inclusions.

Compléments

• Sur un axe gradué, chaque nombre réel est l’abscisse d’un point unique.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : chaque ensemble s’emboîte dans le suivant.

📖 5. Nature et encadrement des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Paire de réels $a$ et $b$ telle que $a \leq x \leq b$.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre réel admet un encadrement décimal à $10^{-n}$ près, où $n$ est un entier naturel.

Compléments

• Un encadrement décimal de $\pi$ à $10^{-2}$ près est $3{,}14 < \pi < 3{,}15$.

• $\sqrt{4}=2$, donc $\sqrt{4}$ est un nombre naturel.

• $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ et $\sqrt{24}$ est un nombre réel irrationnel.