QCM : Ensembles de nombres réels (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle inclusion représente la relation entre les nombres décimaux et les nombres rationnels ?

D⊂Q\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}
Q⊂D\mathbb{Q} \subset \mathbb{D}
D⊂Z\mathbb{D} \subset \mathbb{Z}
Z⊂D\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}

$$\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$$

Explication

Tout nombre décimal est rationnel, puisqu’il peut s’écrire comme une fraction d’entiers ; ainsi D⊂Q\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}. L’inclusion inverse est fausse, car des rationnels comme 13\frac{1}{3} n’ont pas d’écriture décimale finie.

2. Pour un entier naturel nn donné, quelle propriété vaut pour tout nombre réel ?

Il est compris entre deux entiers dont la différence vaut 10−n10^{-n}
Il admet un encadrement décimal dont l’amplitude vaut nécessairement nn
Il admet un encadrement décimal à 10−n10^{-n} près
Il possède une écriture décimale finie avec exactement nn chiffres

Il admet un encadrement décimal à $$10^{-n}$$ près

Explication

Tout réel admet un encadrement décimal à 10−n10^{-n} près pour tout entier naturel nn. Cela ne signifie pas que son écriture décimale est finie ou comporte exactement nn chiffres.

3. Pour écrire 0,000720{,}00072 en notation scientifique, quelle forme respecte la condition sur le coefficient ?

0,72×10−30{,}72 \times 10^{-3}
7,2×10−47{,}2 \times 10^{-4}
7,2×1047{,}2 \times 10^{4}
72×10−572 \times 10^{-5}

$$7{,}2 \times 10^{-4}$$

Explication

La notation scientifique exige un coefficient compris entre 1 inclus et 10 exclu ; 7,27{,}2 convient et l’exposant −4-4 donne bien 0,000720{,}00072. La forme avec 0,720{,}72 représente le même nombre, mais son coefficient est inférieur à 1.

4. Quelle chaîne présente correctement les inclusions entre les ensembles de nombres ?

N⊂D⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
Z⊂N⊂D⊂Q⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂Q⊂D⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. L’inclusion de Q\mathbb{Q} dans D\mathbb{D} est inversée dans une autre chaîne, car certains rationnels ne sont pas décimaux.

5. Parmi les nombres suivants, lequel a une racine carrée irrationnelle ?

1616
99
2525
1010

$$10$$

Explication

1010 n’est pas un carré parfait, donc sa racine carrée est irrationnelle. Les autres nombres proposés sont des carrés parfaits et ont des racines carrées entières.

6. Si 2≤x≤52 \leq x \leq 5, quelle est l’amplitude de cet encadrement ?

22, la borne inférieure qui limite les valeurs de xx
33, la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure
55, la borne supérieure qui limite les valeurs de xx
77, la somme des deux bornes de l’encadrement

$$3$$, la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure

Explication

L’amplitude est la différence entre les bornes, soit b−a=5−2=3b-a=5-2=3. Les nombres 22 et 55 sont les bornes de l’encadrement, et non son amplitude.

7. Quel ensemble réunit les nombres rationnels et les nombres irrationnels ?

L’ensemble des nombres décimaux, noté D\mathbb{D}
L’ensemble des nombres réels, noté R\mathbb{R}
L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté Z\mathbb{Z}
L’ensemble des nombres rationnels, noté Q\mathbb{Q}

L’ensemble des nombres réels, noté $$\mathbb{R}$$

Explication

Les nombres rationnels et irrationnels constituent ensemble les nombres réels, notés R\mathbb{R}. Les nombres rationnels forment une partie des réels, mais n’incluent pas les irrationnels.

8. Pour a>0a>0, quelle description correspond à a\sqrt{a} ?

Les deux réels dont le carré vaut aa, considérés ensemble.
L’unique réel positif dont le carré vaut aa.
Le réel positif dont le carré vaut −a-a.
L’unique réel dont le carré vaut aa, qu’il soit positif ou négatif.

L’unique réel positif dont le carré vaut $$a$$.

Explication

La racine carrée a\sqrt{a} désigne l’unique réel positif dont le carré est aa. L’équation x2=ax^2=a possède bien deux solutions lorsque a>0a>0, mais la notation de racine carrée désigne seulement la solution positive.

9. Quelle caractéristique distingue l’écriture décimale d’un nombre irrationnel ?

Elle comporte une infinité de chiffres après la virgule, tous distincts.
Elle comporte une infinité de chiffres après la virgule sans présenter de période.
Elle comporte un nombre fini de chiffres après la virgule et se termine.
Elle comporte une infinité de chiffres après la virgule qui se répètent selon une période.

Elle comporte une infinité de chiffres après la virgule sans présenter de période.

Explication

Un irrationnel a une écriture décimale infinie et non périodique. Une écriture infinie périodique caractérise plutôt un rationnel non décimal.

10. Sachant que aa et bb sont positifs, quelle égalité permet de calculer 36×5\sqrt{36 \times 5} ?

36×5=36+5=6+5\sqrt{36 \times 5}=\sqrt{36}+\sqrt{5}=6+\sqrt{5}
36×5=36×5=30\sqrt{36 \times 5}=\sqrt{36}\times 5=30
36×5=36×5\sqrt{36 \times 5}=36\times\sqrt{5}
36×5=36×5=65\sqrt{36 \times 5}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}=6\sqrt{5}

$$\sqrt{36 \times 5}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}=6\sqrt{5}$$

Explication

Pour deux réels positifs, la racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées, ce qui donne ici 656\sqrt{5}. Remplacer la racine du produit par une somme de racines ne respecte pas cette règle.

11. Pour réfuter l’affirmation « tout nombre entier est pair », que doit vérifier un contre-exemple ?

Être un entier pair qui satisfait l’hypothèse sans vérifier la conclusion.
Être un entier impair, satisfaisant l’hypothèse mais contredisant la conclusion.
Être un nombre non entier qui contredit l’hypothèse de l’affirmation.
Être un nombre pair qui satisfait à la fois l’hypothèse et la conclusion.

Être un entier impair, satisfaisant l’hypothèse mais contredisant la conclusion.

Explication

Un contre-exemple doit satisfaire l’hypothèse, ici être un entier, tout en contredisant la conclusion, ici être impair. Un entier pair ne réfuterait pas l’affirmation puisqu’il en vérifierait aussi la conclusion.

12. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

Il peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.
Il peut s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10.
Il s’écrit comme le produit d’un entier et d’une puissance de 10 positive.
Son écriture décimale comporte une infinité de chiffres non périodiques.

Il peut s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10.

Explication

Un nombre décimal est défini par son écriture comme quotient d’un entier relatif par une puissance de 10. La définition d’un nombre rationnel est plus large : son dénominateur peut être un entier non nul quelconque.

13. Pour donner la nature de 0,50,5, quel ensemble faut-il préciser dans le diagramme des inclusions ?

L’ensemble des réels qui ne contient pas 0,50,5
Tous les ensembles qui contiennent 0,50,5
Le plus grand ensemble qui contient 0,50,5
Le plus petit ensemble qui contient 0,50,5

Le plus petit ensemble qui contient $$0,5$$

Explication

La nature d’un nombre correspond au plus petit ensemble du diagramme auquel il appartient ; pour 0,50,5, il s’agit de D\mathbb{D}. Indiquer un ensemble plus grand qui le contient, comme Q\mathbb{Q}, ne précise pas sa nature la plus précise.

14. Quelle inclusion exprime le fait que tout entier relatif est aussi un nombre décimal ?

D⊂Z\mathbb{D} \subset \mathbb{Z}
Q⊂D\mathbb{Q} \subset \mathbb{D}
Z⊂D\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}
Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

$$\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$$

Explication

Tout entier relatif peut s’écrire comme quotient de lui-même par 10010^0, donc il est décimal et l’inclusion est bien Z⊂D\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}. L’inclusion inverse entre les entiers et les décimaux est fausse, car certains décimaux ne sont pas entiers.

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Comment définit-on un nombre décimal ?

C’est le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10.

Quelle inclusion relie les entiers relatifs aux nombres décimaux ?

Z⊂D\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}

Quelle forme scientifique peut prendre un nombre décimal positif ?

a×10na \times 10^n, avec n∈Zn \in \mathbb{Z} et 1≤a<101 \leq a < 10.

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