ℕ est inclus dans ℤ
Explication
Tout entier naturel est aussi un entier relatif, donc ℕ ⊂ ℤ. L’inclusion inverse confond les deux ensembles, et leur égalité ou leur disjonction ne décrit pas cette relation.
$$0,375$$, car son écriture décimale est finie
Explication
Un nombre est décimal si et seulement si son écriture décimale est finie : c’est le cas de . Une répétition infinie de chiffres ne constitue pas une écriture finie, même si elle est périodique.
$$\frac{a}{10^n}$$, avec $$a \in \mathbb{Z}$$ et $$n \in \mathbb{N}$$
Explication
Un nombre décimal peut s’écrire comme un entier relatif divisé par une puissance de dix dont l’exposant est naturel. Un dénominateur quelconque correspond à la forme générale d’un rationnel, et les deux autres propositions modifient les domaines de a ou de n.
Dans $$\mathbb{Q}$$, l’ensemble des nombres rationnels.
Explication
Tout nombre décimal est rationnel, donc et appartient à . Le fait d’être décimal ne rend pas le nombre entier, et une écriture décimale finie est précisément un cas d’écriture rationnelle.
L’ensemble ℕ
Explication
Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs et leur ensemble est noté ℕ. ℤ désigne les entiers relatifs, tandis que 𝔻 et ℚ désignent les nombres décimaux et rationnels.
Il s’écrit $$\frac{a}{b}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$b\in\mathbb{N}^*$$, et appartient à $$\mathbb{Q}$$.
Explication
Un rationnel s’écrit comme une fraction dont le numérateur est entier relatif et le dénominateur entier naturel non nul, et l’ensemble correspondant est . La réponse avec deux entiers naturels exclut des numérateurs négatifs, celle avec un dénominateur relatif modifie l’ensemble demandé, et l’écriture décimale finie caractérise les nombres décimaux.
Le nombre est rationnel.
Explication
Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou si ses décimales se répètent. Une écriture finie n’est pas le seul cas pertinent, une répétition n’est pas nécessaire quand l’écriture se termine, et une écriture illimitée périodique n’est pas irrationnelle.
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Qu’est-ce qu’un entier naturel ?
Un nombre entier positif.
Quel symbole désigne l’ensemble des entiers naturels ?
ℕ.
Quelle inclusion relie ℕ et ℤ ?
ℕ ⊂ ℤ.
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