QCM : Ensembles et applications (24 questions)

Question 1

1. Comment définit-on un ensemble en mathématiques ?

Une collection de collections, appelées ses éléments

Une collection d’objets numériques classés par valeur

Une collection d’objets bien déterminés, appelés ses éléments

Une succession ordonnée d’objets, appelés ses éléments

Explication

Un ensemble est une collection d’objets bien déterminés, appelés ses éléments. Une succession ordonnée relève plutôt de la notion de liste, et un ensemble n’est pas limité aux nombres.

Answer

Une collection d’objets bien déterminés, appelés ses éléments

Question 2

2. On représente les mêmes données par la liste Python [3, 1, 3, 2] et par l’ensemble {3, 1, 3, 2}. Quelle propriété distingue l’ensemble de la liste ?

Il conserve l’ordre, mais écarte les répétitions

Il écarte l’ordre, mais conserve les répétitions

Il ne tient compte ni de l’ordre ni des répétitions

Il conserve l’ordre et les répétitions comme la liste

Explication

Dans un ensemble, ni l’ordre des éléments ni leurs répétitions ne comptent, contrairement à une liste Python. L’ordre conservé confond l’ensemble avec la liste, tandis que les répétitions conservées reprennent à tort une autre propriété de la liste.

Answer

Il ne tient compte ni de l’ordre ni des répétitions

Question 3

3. On considère A = {1, 3} et B = {1, 2, 3, 4}. Quelle relation décrit correctement le fait que chaque élément de A appartient à B ?

B ∈ A

A ⊂ B

B ⊂ A

A ∈ B

Explication

L’inclusion A ⊂ B signifie que tout élément de A appartient à B. Écrire A ∈ B confond l’appartenance d’un élément avec l’inclusion de deux ensembles; les deux autres relations inversent les ensembles concernés.

Answer

{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Answer

Chaque élément de E a une unique image dans F

Answer

Ce n’est pas une application, car les éléments de E doivent chacun avoir exactement une image

Answer

Les éléments de $$E$$ dont l’image par $$f$$ appartient à $$B$$

Answer

$$(2x-1)^2$$

Answer

$$h$$ n’est pas injective

Answer

Supposer $$f(x)=f(x')$$ pour des éléments quelconques, puis établir $$x=x'$$

Answer

Chaque élément de l’arrivée possède au moins un antécédent.

Answer

Elle est bijective.

Answer

Elle renvoie chaque $$y$$ vers son unique antécédent et les deux compositions donnent les identités.

Answer

Ses propriétés d’injectivité et de surjectivité peuvent changer avec les ensembles choisis.

Answer

Son nombre d’éléments.

Answer

29 personnes

Answer

Être injective

Answer

Elle est injective et donc bijective

Answer

Au moins un casier contient au moins deux dossiers

Answer

168 lignes

Question 4

4. Dans un groupe, A désigne les personnes qui connaissent Python et B celles qui connaissent SQL. Quel ensemble représente les personnes qui connaissent Python ou SQL, y compris celles qui connaissent les deux ?

A \ B

B \ A

A ∩ B

A ∪ B

Explication

L’union A ∪ B réunit les éléments appartenant à A ou à B, donc elle inclut aussi ceux appartenant aux deux. L’intersection conserve seulement les éléments communs; les différences retirent les éléments de l’un des ensembles.

Question 5

5. Soient E = {a, b} et F = {1, 2}. Quel est le produit cartésien E × F ?

{(a, a), (b, b), (1, 1), (2, 2)}

{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

{{a, 1}, {a, 2}, {b, 1}, {b, 2}}

Explication

E × F contient les couples (x, y) avec x dans E et y dans F : chaque élément de E est associé à chaque élément de F. La réponse inversée échange les ensembles des deux coordonnées, et les autres ne respectent pas la définition des couples.

Question 6

6. Une règle associe à chaque personne d’un ensemble E un seul numéro de dossier appartenant à F. Quelle propriété permet de la qualifier d’application f : E → F ?

Chaque élément de E peut avoir plusieurs images dans F

Chaque élément de E a au moins une image, parfois plusieurs

Chaque élément de E a une unique image dans F

Chaque élément de F reçoit une image depuis E

Explication

Une application associe à chaque élément de E un unique élément de F. Il n’est pas requis que chaque élément de F soit utilisé; autoriser plusieurs images pour un élément de E contredit l’unicité.

Question 7

7. Dans un schéma de relation de E vers F, un élément de E n’a aucune flèche, un autre en a deux, et un élément de F ne reçoit aucune flèche. Quel constat s’applique ?

C’est une application, car certains éléments de E peuvent ne pas avoir d’image

Ce n’est pas une application, car les éléments de E doivent chacun avoir exactement une image

C’est une application, car un élément de E peut avoir plusieurs images

C’est une application, car un élément de F peut ne recevoir aucune flèche

Explication

Pour être une application, chaque élément de E doit avoir exactement une image; l’absence de flèche et les deux flèches au départ empêchent donc cette qualification. Un élément de F sans antécédent est permis, mais cela ne corrige pas les problèmes au départ.

Question 8

8. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x^2$ et soit $A=[-2,3]$ . Quel est l’ensemble image $f(A)$ ?

[-2,3]

[-2,9]

[0,9]

[4,9]

Explication

L’image directe rassemble les valeurs $f(x)$ pour tous les $x$ de l’ensemble considéré ; sur $[-2,3]$ , le carré atteint son minimum $0$ et son maximum $9$ . L’intervalle $[4,9]$ oublie le minimum intérieur, $[-2,3]$ reprend le domaine, et $[-2,9]$ conserve à tort des valeurs négatives.

Question 9

9. Une application $f:E\to F$ n’est pas bijective. Pour un sous-ensemble $B\subseteq F$ , que désigne tout de même $f^{-1}(B)$ ?

Les éléments de

E

dont l’image par

f

appartient à

B

Les images par

f

des éléments de

B

Les éléments de

E

dont l’image par

f

appartient à

f(B)

Les éléments de

F

dont l’image par

f

appartient à

B

Explication

L’image réciproque de $B$ est l’ensemble des éléments du domaine $E$ que $f$ envoie dans $B$ ; sa définition ne requiert pas que $f$ soit bijective. La fonction réciproque exige la bijectivité, tandis que les autres formulations confondent domaine, codomaine ou image directe.

Question 10

10. Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ , avec $f(x)=2x-1$ et $g(y)=y^2$ . Quelle expression donne $(g\circ f)(x)$ ?

2x^2-1

2x^2+1

x^2+2x-1

(2x-1)^2

Explication

Dans $g\circ f$ , on applique d’abord $f$ , puis $g$ : $g(f(x))=(2x-1)^2$ . L’expression $2x^2-1$ inverse les fonctions, $x^2+2x-1$ ajoute les sorties, et $2x^2+1$ ne correspond pas à l’application successive donnée.

Question 11

11. Une application $h:E\to F$ envoie deux éléments distincts $u,v\in E$ sur la même valeur. Quelle conclusion découle de la définition de l’injectivité ?

h

n’est pas injective

h

est injective

h

n’est pas surjective

h

est bijective

Explication

L’injectivité exige que $h(u)=h(v)$ implique $u=v$ ; une collision entre deux éléments distincts la contredit. La surjectivité concerne l’existence d’antécédents pour les éléments de $F$ , et non l’unicité des images.

Question 12

12. Pour démontrer que $f:E\to F$ est injective, quelle démarche faut-il suivre ?

Supposer

f(x)=f(x')

pour des éléments quelconques, puis établir

x=x'

Fixer

y\in F

, puis trouver

x\in E

tel que

f(x)=y

Choisir un élément

x\in E

, puis calculer seulement

f(x)

Supposer

x\ne x'

, puis établir

f(x)=f(x')

Explication

La preuve d’injectivité part de deux éléments arbitraires ayant la même image et montre qu’ils sont égaux. Fixer une valeur d’arrivée et lui trouver un antécédent est la méthode de surjectivité ; établir une collision réfuterait l’injectivité.

Question 13

13. Une application associe chaque élément de l’ensemble de départ à un élément de l’ensemble d’arrivée. Quelle condition garantit qu’elle est surjective ?

Chaque élément du départ a une image différente des autres.

Chaque élément du départ est l’antécédent d’un élément distinct de l’arrivée.

Chaque élément de l’arrivée possède au moins un antécédent.

Chaque élément de l’arrivée possède exactement un antécédent.

Explication

La surjectivité signifie que tout élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par l’application, donc possède au moins un antécédent. L’injectivité porte sur l’absence d’antécédents multiples, tandis que l’unicité est exigée pour une bijection.

Question 14

14. Pour une application entre deux ensembles, chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par exactement un élément du départ. Quelle propriété l’application possède-t-elle ?

Elle est injective, sans condition de surjectivité.

Elle est surjective, sans condition d’injectivité.

Elle est constante sur l’ensemble de départ.

Elle est bijective.

Explication

Une bijection est à la fois injective et surjective : chaque élément de l’arrivée possède exactement un antécédent. La surjectivité seule garantit l’existence, et l’injectivité seule garantit l’unicité sans assurer que tous les éléments d’arrivée sont atteints.

Question 15

15. Une application bijective associe à un élément $y$ de son ensemble d’arrivée son unique antécédent dans l’ensemble de départ. Quelle propriété décrit son application réciproque ?

Elle renvoie chaque

y

vers son unique antécédent, mais une composition n’est pas une identité.

Elle renvoie chaque élément du départ vers son antécédent dans ce même ensemble.

Elle renvoie chaque

y

vers son image et les deux compositions donnent les identités.

Elle renvoie chaque

y

vers son unique antécédent et les deux compositions donnent les identités.

Explication

La réciproque d’une bijection associe à chaque élément d’arrivée son unique antécédent et défait l’application dans les deux sens : les compositions sont les applications identités. Confondre antécédent et image inverse le rôle de la réciproque.

Question 16

16. La formule $f(x)=x^2$ est considérée une première fois de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ , puis de $[0,+\infty[$ vers $[0,+\infty[$ . Quelle conclusion est correcte ?

Ses propriétés d’injectivité et de surjectivité restent fixées par la formule seule.

Seule sa surjectivité peut changer, car l’injectivité dépend de la formule seule.

Seule son injectivité peut changer, car la surjectivité dépend de la formule seule.

Ses propriétés d’injectivité et de surjectivité peuvent changer avec les ensembles choisis.

Explication

L’injectivité et la surjectivité dépendent à la fois de la formule et des ensembles de départ et d’arrivée. Par exemple, le carré sur les réels n’est ni injectif ni surjectif vers les réels, mais il est bijectif des réels positifs vers eux-mêmes.

Question 17

17. Que mesure le cardinal d’un ensemble fini $E$ , noté $\operatorname{Card}(E)$ ou $|E|$ ?

Son nombre d’éléments.

La valeur de son plus grand élément.

Le nombre de ses sous-ensembles propres.

La somme de ses éléments.

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments. Le plus grand élément, la somme et le nombre de sous-ensembles sont des mesures différentes.

Question 18

18. Deux clubs comptent respectivement 20 et 15 membres, et 6 personnes appartiennent aux deux. Combien de personnes appartiennent à au moins un des deux clubs ?

35 personnes

9 personnes

29 personnes

23 personnes

Explication

La formule du crible donne $20+15-6=29$ : les six membres communs sont comptés deux fois dans la somme et doivent être retranchés une fois. Le résultat 35 oublie ce chevauchement.

Question 19

19. Un code est formé de trois caractères, chacun choisi parmi un alphabet de 5 symboles, avec répétition autorisée. Combien de codes différents sont possibles ?

15 codes

125 codes

60 codes

25 codes

Explication

Chaque position offre 5 choix, donc le nombre de triplets est $5^3=125$ . Additionner les choix donne 15, tandis que $5^2=25$ ne compte que deux positions.

Question 20

20. Une application envoie un ensemble fini de 12 éléments vers un ensemble fini de 9 éléments. Quelle propriété est impossible pour cette application ?

Être non surjective

Être injective

Être surjective

Être non injective

Explication

Une application injective entre ensembles finis exige que le cardinal de l’ensemble de départ soit inférieur ou égal à celui d’arrivée. Ici, 12 est supérieur à 9 : « être surjective » est compatible avec cette inégalité, tandis que l’égalité des cardinaux n’est pas nécessaire à toute application.

Question 21

21. Une application entre deux ensembles finis de 14 éléments est surjective. Quelle autre propriété peut-on en déduire ?

Elle est injective sans être bijective

Elle est injective et donc bijective

Elle est bijective sans être injective

Elle peut ne pas être injective ni bijective

Explication

Pour deux ensembles finis de même cardinal, la surjectivité équivaut à l’injectivité, et ces deux propriétés équivalent à la bijectivité. L’erreur associée à « injective sans être bijective » consiste à omettre cette équivalence; la surjectivité ne signifie pas seulement que chaque élément de départ a une image.

Question 22

22. On répartit 23 dossiers dans 7 casiers. Quelle conclusion est garantie ?

Un casier contient au moins sept dossiers

Au moins deux casiers contiennent exactement deux dossiers

Au moins un casier contient au moins deux dossiers

Tous les casiers contiennent au moins deux dossiers

Explication

Comme 23 est supérieur à 7, le principe des tiroirs garantit qu’au moins un casier reçoit deux dossiers ou davantage. Cette inégalité ne garantit ni que tous les casiers soient remplis plusieurs fois, ni un nombre précis de dossiers dans un casier.

Question 23

23. En Python, avec A = {2, 4, 6} et B = {4, 6, 8}, quelle expression renvoie les éléments présents dans A mais absents de B ?

A & B

A - B

B - A

A | B

Explication

En Python, A - B désigne la différence : elle conserve les éléments de A qui ne sont pas dans B. A | B forme l’union, A & B l’intersection, et B - A calcule la différence dans l’autre sens.

Question 24

24. Une requête SQL réalise un CROSS JOIN entre une table de 24 étudiants et une table de 7 modules. Combien de lignes produit-elle ?

17 lignes

144 lignes

31 lignes

168 lignes

Explication

CROSS JOIN produit le produit cartésien des deux tables : chaque étudiant est associé à chaque module, soit $24 \times 7 = 168$ lignes. L’addition et la soustraction ne représentent pas ce produit; 144 correspond à une multiplication incorrecte.

QCM : Ensembles et applications (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on un ensemble en mathématiques ?

2. On représente les mêmes données par la liste Python [3, 1, 3, 2] et par l’ensemble {3, 1, 3, 2}. Quelle propriété distingue l’ensemble de la liste ?

3. On considère A = {1, 3} et B = {1, 2, 3, 4}. Quelle relation décrit correctement le fait que chaque élément de A appartient à B ?

4. Dans un groupe, A désigne les personnes qui connaissent Python et B celles qui connaissent SQL. Quel ensemble représente les personnes qui connaissent Python ou SQL, y compris celles qui connaissent les deux ?

5. Soient E = {a, b} et F = {1, 2}. Quel est le produit cartésien E × F ?

6. Une règle associe à chaque personne d’un ensemble E un seul numéro de dossier appartenant à F. Quelle propriété permet de la qualifier d’application f : E → F ?

7. Dans un schéma de relation de E vers F, un élément de E n’a aucune flèche, un autre en a deux, et un élément de F ne reçoit aucune flèche. Quel constat s’applique ?

8. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x^2$ et soit $A=[-2,3]$ . Quel est l’ensemble image $f(A)$ ?

9. Une application $f:E\to F$ n’est pas bijective. Pour un sous-ensemble $B\subseteq F$ , que désigne tout de même $f^{-1}(B)$ ?

10. Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ , avec $f(x)=2x-1$ et $g(y)=y^2$ . Quelle expression donne $(g\circ f)(x)$ ?

11. Une application $h:E\to F$ envoie deux éléments distincts $u,v\in E$ sur la même valeur. Quelle conclusion découle de la définition de l’injectivité ?

12. Pour démontrer que $f:E\to F$ est injective, quelle démarche faut-il suivre ?

13. Une application associe chaque élément de l’ensemble de départ à un élément de l’ensemble d’arrivée. Quelle condition garantit qu’elle est surjective ?

14. Pour une application entre deux ensembles, chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par exactement un élément du départ. Quelle propriété l’application possède-t-elle ?

15. Une application bijective associe à un élément $y$ de son ensemble d’arrivée son unique antécédent dans l’ensemble de départ. Quelle propriété décrit son application réciproque ?

16. La formule $f(x)=x^2$ est considérée une première fois de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ , puis de $[0,+\infty[$ vers $[0,+\infty[$ . Quelle conclusion est correcte ?

17. Que mesure le cardinal d’un ensemble fini $E$ , noté $\operatorname{Card}(E)$ ou $|E|$ ?

18. Deux clubs comptent respectivement 20 et 15 membres, et 6 personnes appartiennent aux deux. Combien de personnes appartiennent à au moins un des deux clubs ?

19. Un code est formé de trois caractères, chacun choisi parmi un alphabet de 5 symboles, avec répétition autorisée. Combien de codes différents sont possibles ?

20. Une application envoie un ensemble fini de 12 éléments vers un ensemble fini de 9 éléments. Quelle propriété est impossible pour cette application ?

21. Une application entre deux ensembles finis de 14 éléments est surjective. Quelle autre propriété peut-on en déduire ?

22. On répartit 23 dossiers dans 7 casiers. Quelle conclusion est garantie ?

23. En Python, avec A = {2, 4, 6} et B = {4, 6, 8}, quelle expression renvoie les éléments présents dans A mais absents de B ?

24. Une requête SQL réalise un CROSS JOIN entre une table de 24 étudiants et une table de 7 modules. Combien de lignes produit-elle ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Socialisation différenciée et trajectoires

Divisions cellulaires et mutations

Organisation fonctionnelle du vivant

Transformateur monophasé

Continuité et fonction réciproque

Moteurs asynchrones

Crée tes propres QCM

QCM : Ensembles et applications (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on un ensemble en mathématiques ?

2. On représente les mêmes données par la liste Python [3, 1, 3, 2] et par l’ensemble {3, 1, 3, 2}. Quelle propriété distingue l’ensemble de la liste ?

3. On considère A = {1, 3} et B = {1, 2, 3, 4}. Quelle relation décrit correctement le fait que chaque élément de A appartient à B ?

4. Dans un groupe, A désigne les personnes qui connaissent Python et B celles qui connaissent SQL. Quel ensemble représente les personnes qui connaissent Python ou SQL, y compris celles qui connaissent les deux ?

5. Soient E = {a, b} et F = {1, 2}. Quel est le produit cartésien E × F ?

6. Une règle associe à chaque personne d’un ensemble E un seul numéro de dossier appartenant à F. Quelle propriété permet de la qualifier d’application f : E → F ?

7. Dans un schéma de relation de E vers F, un élément de E n’a aucune flèche, un autre en a deux, et un élément de F ne reçoit aucune flèche. Quel constat s’applique ?

8. Soit f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R définie par f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et soit A=[−2,3]A=[-2,3]A=[−2,3]. Quel est l’ensemble image f(A)f(A)f(A) ?

9. Une application f:E→Ff:E\to Ff:E→F n’est pas bijective. Pour un sous-ensemble B⊆FB\subseteq FB⊆F, que désigne tout de même f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B) ?

10. Soient f:E→Ff:E\to Ff:E→F et g:F→Gg:F\to Gg:F→G, avec f(x)=2x−1f(x)=2x-1f(x)=2x−1 et g(y)=y2g(y)=y^2g(y)=y2. Quelle expression donne (g∘f)(x)(g\circ f)(x)(g∘f)(x) ?

11. Une application h:E→Fh:E\to Fh:E→F envoie deux éléments distincts u,v∈Eu,v\in Eu,v∈E sur la même valeur. Quelle conclusion découle de la définition de l’injectivité ?

12. Pour démontrer que f:E→Ff:E\to Ff:E→F est injective, quelle démarche faut-il suivre ?

13. Une application associe chaque élément de l’ensemble de départ à un élément de l’ensemble d’arrivée. Quelle condition garantit qu’elle est surjective ?

14. Pour une application entre deux ensembles, chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par exactement un élément du départ. Quelle propriété l’application possède-t-elle ?

15. Une application bijective associe à un élément yyy de son ensemble d’arrivée son unique antécédent dans l’ensemble de départ. Quelle propriété décrit son application réciproque ?

16. La formule f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 est considérée une première fois de R\mathbb{R}R vers R\mathbb{R}R, puis de [0,+∞[[0,+\infty[ [0,+∞[ vers [0,+∞[[0,+\infty[ [0,+∞[. Quelle conclusion est correcte ?

17. Que mesure le cardinal d’un ensemble fini EEE, noté Card⁡(E)\operatorname{Card}(E)Card(E) ou ∣E∣|E|∣E∣ ?

18. Deux clubs comptent respectivement 20 et 15 membres, et 6 personnes appartiennent aux deux. Combien de personnes appartiennent à au moins un des deux clubs ?

19. Un code est formé de trois caractères, chacun choisi parmi un alphabet de 5 symboles, avec répétition autorisée. Combien de codes différents sont possibles ?

20. Une application envoie un ensemble fini de 12 éléments vers un ensemble fini de 9 éléments. Quelle propriété est impossible pour cette application ?

21. Une application entre deux ensembles finis de 14 éléments est surjective. Quelle autre propriété peut-on en déduire ?

22. On répartit 23 dossiers dans 7 casiers. Quelle conclusion est garantie ?

23. En Python, avec A = {2, 4, 6} et B = {4, 6, 8}, quelle expression renvoie les éléments présents dans A mais absents de B ?

24. Une requête SQL réalise un CROSS JOIN entre une table de 24 étudiants et une table de 7 modules. Combien de lignes produit-elle ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Socialisation différenciée et trajectoires

Divisions cellulaires et mutations

Organisation fonctionnelle du vivant

Transformateur monophasé

Continuité et fonction réciproque

Moteurs asynchrones

Crée tes propres QCM

8. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x^2$ et soit $A=[-2,3]$ . Quel est l’ensemble image $f(A)$ ?

9. Une application $f:E\to F$ n’est pas bijective. Pour un sous-ensemble $B\subseteq F$ , que désigne tout de même $f^{-1}(B)$ ?

10. Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ , avec $f(x)=2x-1$ et $g(y)=y^2$ . Quelle expression donne $(g\circ f)(x)$ ?

11. Une application $h:E\to F$ envoie deux éléments distincts $u,v\in E$ sur la même valeur. Quelle conclusion découle de la définition de l’injectivité ?

12. Pour démontrer que $f:E\to F$ est injective, quelle démarche faut-il suivre ?

15. Une application bijective associe à un élément $y$ de son ensemble d’arrivée son unique antécédent dans l’ensemble de départ. Quelle propriété décrit son application réciproque ?

16. La formule $f(x)=x^2$ est considérée une première fois de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ , puis de $[0,+\infty[$ vers $[0,+\infty[$ . Quelle conclusion est correcte ?

17. Que mesure le cardinal d’un ensemble fini $E$ , noté $\operatorname{Card}(E)$ ou $|E|$ ?