Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Une collection d'objets appelés éléments.
Quand dit-on qu'un ensemble F est un sous-ensemble de E ?
Quand tous les éléments de F sont aussi dans E.
Comment s'écrit la notation indiquant que F est un sous-ensemble de E ?
On écrit F ⊂ E.
Quelle est la négation de F ⊂ E ?
C'est F ⊄ E.
Que signifie F ⊄ E en termes d'éléments ?
Il existe un élément dans F qui n'appartient pas à E.
Quelle condition caractérise l'égalité de deux ensembles E et F ?
F ⊂ E et E ⊂ F doivent être vraies.
Qu'est-ce que l'union E ∪ F d'ensembles E et F ?
L'ensemble des éléments appartenant à E ou à F.
Qu'est-ce que l'intersection E ∩ F d'ensembles E et F ?
L'ensemble des éléments appartenant à la fois à E et à F.
Quelles propriétés commutatives ont l'union et l'intersection ?
Elles sont commutatives.
Quelles propriétés associatives ont l'union et l'intersection ?
Elles sont associatives.
Quelle est la distributivité de l'intersection sur l'union ?
Quelle est la distributivité de l'union sur l'intersection ?
Qu'est-ce que la différence ensembliste E \ F ?
L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F.
Qu'est-ce que le complémentaire de A dans E si A ⊂ E ?
C'est l'ensemble E \ A.
Quelle est la relation entre le complémentaire de A ∩ B et ceux de A et B ?
Le complémentaire de A ∩ B est le complémentaire de A uni au complémentaire de B.
Qu'est-ce que le produit cartésien E × F ?
L'ensemble des couples (x,y) avec x dans E et y dans F.
Que contient l'ensemble des parties P(E) ?
Tous les sous-ensembles de E.
Qu'est-ce qu'une application f de E dans F ?
Une application associe à chaque élément de E un unique élément de F.
Que désigne f(x) pour x dans E ?
f(x) est l'image unique de x dans F.
Quel est le rôle de x par rapport à f(x) ?
x est un antécédent de f(x).
Comment se définit l'image Im(f) d'une application f ?
Im(f) est l'ensemble des f(x) pour tous les x dans E.
Comment s'écrit Im(f) en extension ?
Im(f) = \{f(x) \mid x \in E\} = \{y \in F \mid \exists x \in E, f(x) = y\}.
Qu'est-ce que l'image directe de A par f ?
L'ensemble des f(x) pour x dans A.
Que signifie f(A) ⊂ f(B) si A ⊂ B ⊂ E ?
L'image directe de A est incluse dans celle de B.
L'égalité f(A) = f(B) implique-t-elle A = B ?
Non, cela n'implique pas A = B.
Qu'est-ce que l'image réciproque de B par f ?
L'ensemble des x tels que f(x) appartient à B.
Comment se définit la composée g ◦ f ?
Par (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
La composition des applications est-elle associative ?
Oui, (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).
La composition des applications est-elle commutative ?
Non, elle n'est généralement pas commutative.
Qu'impose l'injectivité d'une application f : E → F sur les antécédents dans F ?
Chaque élément de F possède au plus un antécédent.
Qu'impose la surjectivité d'une application f : E → F sur les antécédents dans F ?
Chaque élément de F possède au moins un antécédent.
Quand une application f : E → F est-elle bijective ?
Quand elle est à la fois injective et surjective.
Quelle condition caractérise une application bijective f : E → F ?
Tout y ∈ F possède un unique antécédent x ∈ E.
Qu'est-ce que l'application réciproque f⁻¹ d'une bijection f : E → F ?
C'est l'application qui associe à chaque y ∈ F l'unique x ∈ E tel que f(x) = y.
Quelle égalité caractérise la composition de f⁻¹ et f pour une application bijective f ?
On a f⁻¹ ◦ f = Id_E.
Quelle égalité caractérise la composition de f et f⁻¹ pour une application bijective f ?
On a f ◦ f⁻¹ = Id_F.
Teste tes connaissances avec un QCM de 15 questions sur Ensembles et applications.
1. Parmi les propositions suivantes concernant les sous-ensembles, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?
2. Un élément appartient à F mais pas à E. Concernant les relations d’inclusion, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
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