Fiche de révision : Ensembles et applications

📋 Plan du Cours

1. Inclusion et égalité des ensembles
2. Opérations sur les ensembles
3. Différence et complémentaire
4. Produit cartésien et parties
5. Définition et représentation des applications
6. Images, antécédents et composition
7. Bijectivité et application réciproque

📖 1. Inclusion et égalité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets dont les objets sont appelés éléments.
• Sous-ensemble : Ensemble dont tous les éléments sont des éléments de E, ce qui se note F ⊂ E.

📝 Points essentiels

📌 La négation de F ⊂ E est F ⊄ E, ce qui équivaut à l’existence d’un élément x appartenant à F mais n’appartenant pas à E.

📌 Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si F ⊂ E et E ⊂ F.

💡 Astuce mémo

Inclusion : tous les éléments de F sont dans E ; égalité : inclusion dans les deux sens

📖 2. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : Ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F.
• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à E et à F.

📝 Points essentiels

📌 L’union et l’intersection sont commutatives et associatives, et elles vérifient les distributivités A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

💡 Astuce mémo

Union = ou ; intersection = et

📖 3. Différence et complémentaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence ensembliste : Ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à F.
• Complémentaire : Si A ⊂ E, le complémentaire de A dans E est E \ A, noté complémentaire de A.

📝 Points essentiels

📌 Pour des parties A et B de E, le complémentaire de A ∩ B est le complémentaire de A uni au complémentaire de B, et le complémentaire de A ∪ B est le complémentaire de A intersecté avec le complémentaire de B.

💡 Astuce mémo

Retirer A de E produit le complémentaire de A dans E

📖 4. Produit cartésien et parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Ensemble des parties : Ensemble de tous les sous-ensembles de E.

💡 Astuce mémo

Un tableau de couples pour le produit cartésien, puis une boîte contenant toutes les parties

📖 5. Définition et représentation des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Fonction qui associe à tout élément de E un unique élément de F.
• Image d’un élément : Pour x ∈ E, l’unique élément f(x) ∈ F associé à x est l’image de x, et x est un antécédent de f(x).
• Image d’une application : L’image de f est Im(f) = {f(x) | x ∈ E} = {y ∈ F | il existe x ∈ E tel que f(x) = y}.

💡 Astuce mémo

Départ → image → arrivée ; le graphe rassemble les couples (x,f(x))

📖 6. Images, antécédents et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : Pour A ⊂ E, l’image directe de A par f est f(A) = {f(x) | x ∈ A}.
• Image réciproque : Pour B ⊂ F, l’image réciproque de B par f est f⁻¹(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.
• Composition : Si f : E → F et g : F → G, la composée g ◦ f : E → G est définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

📝 Points essentiels

📌 Si A ⊂ B ⊂ E, alors f(A) ⊂ f(B), mais f(A) = f(B) n’implique pas A = B.

📌 La composition des applications est associative, car (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f), mais elle n’est généralement pas commutative.

💡 Astuce mémo

Image directe part du domaine ; image réciproque part de l’ensemble d’arrivée

📖 7. Bijectivité et application réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Application réciproque : Si f : E → F est bijective, son application réciproque f⁻¹ : F → E associe à chaque y ∈ F l’unique x ∈ E tel que f(x) = y.

📝 Points essentiels

• Une application f : E → F est injective si chaque élément de F possède au plus un antécédent, surjective si chaque élément de F possède au moins un antécédent, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.

• Une application f : E → F est bijective si et seulement si tout y ∈ F possède un unique antécédent x ∈ E.

• Pour toute application bijective f, on a f⁻¹ ◦ f = Id_E et f ◦ f⁻¹ = Id_F.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : exactement un

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications