QCM : Ensembles et applications — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Parmi les propositions suivantes concernant les sous-ensembles, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La notation F⊊EF \subsetneq E signifie que F contient davantage d’éléments qu'E.
La notation F⊂EF \subset E autorise F et E à être égaux.
La notation F⊄EF \not\subset E indique que tous les éléments de F sont dans E.
La notation F⊊EF \subsetneq E impose que F soit différent de E.
La notation F⊂EF \subset E exige qu’un élément de F soit hors de E.

La notation $$F \subset E$$ autorise F et E à être égaux. · La notation $$F \subsetneq E$$ impose que F soit différent de E.

Explication

L’inclusion F⊂EF \subset E impose que les éléments de F soient dans E. Elle n’exige pas que les ensembles soient différents, contrairement à l’inclusion stricte F⊊EF \subsetneq E. Un élément de F situé hors de E caractérise la non-inclusion.

2. Un élément xx appartient à F mais pas à E. Concernant les relations d’inclusion, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La relation E⊂FE \subset F est automatiquement vérifiée.
Cette situation entraîne F⊄EF \not\subset E.
La relation F⊊EF \subsetneq E est automatiquement vérifiée.
Cette situation est compatible avec F⊂EF \subset E.
La non-inclusion F⊄EF \not\subset E correspond à l’existence d’un tel élément.

Cette situation entraîne $$F \not\subset E$$. · La non-inclusion $$F \not\subset E$$ correspond à l’existence d’un tel élément.

Explication

La non-inclusion F⊄EF \not\subset E équivaut à l’existence d’un élément appartenant à F mais pas à E. Elle ne signifie donc pas que tous les éléments de F sont dans E. La relation inverse concerne l’inclusion de E dans F.

3. Les critères d’égalité de deux ensembles comprennent :

La condition E⊂FE \subset F.
La caractérisation de l’égalité par deux inclusions réciproques.
La conjonction de F⊂EF \subset E et E⊂FE \subset F.
L’existence d’un élément de F extérieur à E.
La condition F⊂EF \subset E.

La condition $$E \subset F$$. · La caractérisation de l’égalité par deux inclusions réciproques. · La conjonction de $$F \subset E$$ et $$E \subset F$$. · La condition $$F \subset E$$.

Explication

Deux ensembles sont égaux si et seulement si chaque ensemble est inclus dans l’autre. Une seule inclusion ne suffit pas à établir l’égalité. La non-inclusion décrit au contraire l’existence d’un élément de F qui n’appartient pas à E.

4. À propos des opérations sur les ensembles :

L’union et l’intersection sont commutatives.
Les deux distributivités entre union et intersection sont vérifiées.
L’union et l’intersection sont associatives.
L’union E∪FE \cup F retient les éléments appartenant à E ou à F.
L’intersection E∩FE \cap F retient les éléments communs à E et F.

L’union et l’intersection sont commutatives. · Les deux distributivités entre union et intersection sont vérifiées. · L’union et l’intersection sont associatives. · L’union $$E \cup F$$ retient les éléments appartenant à E ou à F. · L’intersection $$E \cap F$$ retient les éléments communs à E et F.

Explication

L’union regroupe les éléments appartenant à E ou à F, y compris ceux présents dans les deux. L’intersection ne retient que les éléments communs. Ces opérations sont commutatives et associatives, et elles satisfont les deux distributivités indiquées.

5. Quelles sont les réponses exactes au sujet des distributivités entre union et intersection ?

A∩(B∪C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cap (B \cup C)=(A \cup B)\cap(A \cup C).
A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cup(A \cup C).
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup(A \cap C).
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap(A \cup C).
A∩(B∪C)=(A∩B)∩(A∩C)A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cap(A \cap C).

$$A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup(A \cap C)$$. · $$A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap(A \cup C)$$.

Explication

La distributivité de l’intersection sur l’union s’écrit A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup(A \cap C). La distributivité de l’union sur l’intersection s’écrit A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap(A \cup C). Les autres propriétés proposées confondent union et intersection.

6. Si A⊂EA \subset E, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant son complémentaire dans E :

Sa notation dépend de l’ensemble dans lequel A est considéré.
Sa définition utilise l’ensemble de référence E.
Il correspond aux éléments de A qui n’appartiennent pas à E.
Il est donné par E∖AE \setminus A.
Il s’identifie à A∖EA \setminus E.

Sa notation dépend de l’ensemble dans lequel A est considéré. · Sa définition utilise l’ensemble de référence E. · Il est donné par $$E \setminus A$$.

Explication

Le complémentaire de A dans E est défini par E∖AE \setminus A lorsqu'A est inclus dans E. Il dépend donc de l’ensemble de référence. La différence est une opération ordonnée, tandis que les lois de complémentarité échangent union et intersection.

7. Concernant le produit cartésien E×FE \times F :

Il contient les couples (x,y)\left(x,y\right) avec x∈Fx \in F et y∈Ey \in E.
Il associe à chaque élément de EE un unique élément de FF.
Il contient les couples dont les deux éléments appartiennent à FF.
Il contient les couples dont les deux éléments appartiennent à EE.
Il contient les couples (x,y)\left(x,y\right) avec x∈Ex \in E et y∈Fy \in F.

Il contient les couples $$\left(x,y\right)$$ avec $$x \in E$$ et $$y \in F$$.

Explication

Le produit cartésien E×FE \times F contient les couples dont le premier élément appartient à EE et le second à FF. L’ordre des facteurs est donc déterminant.

8. Parmi les propositions suivantes concernant l’ensemble des parties de EE, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La relation F∈EF \in E signifie que FF est un élément de EE.
P(E)\mathcal P(E) contient tous les sous-ensembles de EE.
La relation F∈P(E)F \in \mathcal P(E) signifie que F⊂EF \subset E.
La notation P(E)\mathcal P(E) désigne l’ensemble des éléments de EE.
La relation F∈P(E)F \in \mathcal P(E) signifie que FF est un élément isolé de EE.

La relation $$F \in E$$ signifie que $$F$$ est un élément de $$E$$. · $$\mathcal P(E)$$ contient tous les sous-ensembles de $$E$$. · La relation $$F \in \mathcal P(E)$$ signifie que $$F \subset E$$.

Explication

L’ensemble P(E)\mathcal P(E) regroupe tous les sous-ensembles de EE. Ainsi, F∈P(E)F \in \mathcal P(E) signifie que FF est une partie de EE, tandis que F∈EF \in E signifie que FF est un élément de EE.

9. Les caractéristiques d’une application f:E→Ff:E\to F comprennent :

Chaque élément de EE possède une image par ff.
Un même élément de EE reçoit une unique image par ff.
L’image associée à un élément de EE appartient à FF.
Deux éléments distincts de EE peuvent avoir la même image dans FF.
Un élément de EE peut recevoir deux images distinctes dans FF.

Chaque élément de $$E$$ possède une image par $$f$$. · Un même élément de $$E$$ reçoit une unique image par $$f$$. · L’image associée à un élément de $$E$$ appartient à $$F$$. · Deux éléments distincts de $$E$$ peuvent avoir la même image dans $$F$$.

Explication

Une application de EE dans FF associe à chaque élément de EE une valeur unique située dans FF. Les propositions concernant une association partielle, plusieurs valeurs ou une valeur hors de FF ne respectent pas cette définition.

10. Quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) au sujet de l’image d’une application f:E→Ff:E\to F ?

L’image de ff est l’ensemble des antécédents situés dans EE.
Im⁡(f)={f(x)∣x∈E}\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}.
L’image de ff est une partie de FF.
Tout élément de FF appartient à Im⁡(f)\operatorname{Im}(f).
Un élément de FF appartient à Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) s’il possède un antécédent dans EE.

$$\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}$$. · L’image de $$f$$ est une partie de $$F$$. · Un élément de $$F$$ appartient à $$\operatorname{Im}(f)$$ s’il possède un antécédent dans $$E$$.

Explication

L’image de ff est l’ensemble des valeurs f(x)f(x) obtenues lorsque xx parcourt EE. Elle peut aussi être décrite comme les éléments de FF possédant au moins un antécédent dans EE.

11. Concernant l’image directe d’une partie A⊂EA\subset E par une application f:E→Ff:E\to F :

f(A)={f(x)∣x∈A}f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.
f(A)f(A) est une partie de l’ensemble d’arrivée FF.
L’image directe de AA rassemble les images des éléments de AA.
L’image directe de AA se définit à partir des éléments de FF possédant un antécédent dans AA.
f(A)f(A) est une partie de l’ensemble de départ EE.

$$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$$. · $$f(A)$$ est une partie de l’ensemble d’arrivée $$F$$. · L’image directe de $$A$$ rassemble les images des éléments de $$A$$. · L’image directe de $$A$$ se définit à partir des éléments de $$F$$ possédant un antécédent dans $$A$$.

Explication

L’image directe de AA est formée des valeurs f(x)f(x) obtenues pour x∈Ax \in A, et elle est incluse dans l’ensemble d’arrivée. L’image réciproque, elle, regroupe des éléments du domaine.

12. Soient A⊂B⊂EA\subset B\subset E. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’inclusion A⊂BA\subset B entraîne f(B)⊂f(A)f(B)\subset f(A).
On a f(A)⊂f(B)f(A)\subset f(B).
L’inclusion A⊂BA\subset B entraîne une inclusion entre leurs images directes.
L’égalité f(A)=f(B)f(A)=f(B) impose A=BA=B.
L’égalité f(A)=f(B)f(A)=f(B) peut être compatible avec A≠BA\ne B.

On a $$f(A)\subset f(B)$$. · L’inclusion $$A\subset B$$ entraîne une inclusion entre leurs images directes. · L’égalité $$f(A)=f(B)$$ peut être compatible avec $$A\ne B$$.

Explication

L’inclusion A⊂BA\subset B entraîne f(A)⊂f(B)f(A)\subset f(B), car toute image d’un élément de AA est aussi une image d’un élément de BB. En revanche, l’égalité des images ne permet pas de conclure à l’égalité des ensembles de départ.

13. Pour une application f:E→Ff:E\to F et une partie B⊂FB\subset F, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’image réciproque regroupe des éléments de FF dont l’image appartient à BB.
Un élément appartient à f−1(B)f^{-1}(B) lorsque son image appartient à BB.
L’expression f(B)f(B) décrit l’image directe de BB lorsque BB est une partie de FF.
f−1(B)f^{-1}(B) est une partie de l’ensemble de départ EE.
f−1(B)={x∈E∣f(x)∈B}f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}.

Un élément appartient à $$f^{-1}(B)$$ lorsque son image appartient à $$B$$. · $$f^{-1}(B)$$ est une partie de l’ensemble de départ $$E$$. · $$f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$$.

Explication

L’image réciproque de BB contient les éléments de EE dont l’image appartient à BB. Elle est donc une partie de l’ensemble de départ, contrairement à l’image directe qui se situe dans l’ensemble d’arrivée.

14. Concernant la distinction entre injectivité, surjectivité et bijectivité :

Une application bijective est à la fois injective et surjective.
Une application injective attribue à chaque élément de l’arrivée au plus un antécédent.
Une application surjective attribue à chaque élément de l’arrivée au plus un antécédent.
Une application injective impose à chaque élément de l’arrivée un antécédent.
Une application surjective garantit à chaque élément de l’arrivée exactement un antécédent.

Une application bijective est à la fois injective et surjective. · Une application injective attribue à chaque élément de l’arrivée au plus un antécédent.

Explication

Une application bijective est à la fois injective et surjective : chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède donc exactement un antécédent. L’injectivité correspond à au plus un antécédent, tandis que la surjectivité correspond à au moins un antécédent.

15. Soit f:E→Ff:E\to F une application. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’injectivité de ff signifie que chaque élément de FF possède un unique antécédent dans EE.
La bijectivité de ff signifie que chaque élément de FF possède un unique antécédent dans EE.
La surjectivité de ff signifie que chaque élément de FF possède au moins un antécédent dans EE.
Une application bijective peut laisser certains éléments de FF sans antécédent.
Une application bijective peut attribuer plusieurs antécédents à un même élément de FF.

La bijectivité de $$f$$ signifie que chaque élément de $$F$$ possède un unique antécédent dans $$E$$. · La surjectivité de $$f$$ signifie que chaque élément de $$F$$ possède au moins un antécédent dans $$E$$.

Explication

La bijectivité signifie que chaque élément de FF possède exactement un antécédent dans EE. L’injectivité seule permet qu’un élément de FF n’ait aucun antécédent, tandis que la surjectivité seule permet plusieurs antécédents.

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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Une collection d'objets appelés éléments.

Quand dit-on qu'un ensemble F est un sous-ensemble de E ?

Quand tous les éléments de F sont aussi dans E.

Comment s'écrit la notation indiquant que F est un sous-ensemble de E ?

On écrit F ⊂ E.

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