Fiche de révision : Racine carrée et propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition de la racine carrée
2. Propriétés algébriques
3. Carrés parfaits et calculatrice

📖 1. Définition de la racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré est a, noté √a et lu « racine carrée de a » ; le symbole √ est appelé radical.

★ À maîtriser

• Pour un carré de surface 36 cm², si a désigne la longueur du côté, alors $a^2=36$ et la longueur du côté vaut 6 cm, car $6^2=36$.

• La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans ce cadre.

Compléments

• Les exemples fondamentaux sont $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{1}=1$ et $\sqrt{0}=0$.

💡 Astuce mémo

Carré connu → côté positif retrouvé

📖 2. Propriétés algébriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous nombres positifs a et b, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et, si $b\ne0$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

📐 Formule — Pour des nombres x et y et un nombre positif a, $x\sqrt{a}+y\sqrt{a}=(x+y)\sqrt{a}$.

📌 En général, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$.

📐 Formule — Pour un nombre positif a, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$, $\sqrt{a^2}=a$ et √a est toujours positif.

Compléments

• Les calculs illustratifs donnent $\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{5}-3\sqrt{5}+7\sqrt{5}=5\sqrt{5}$, $\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$ et $\sqrt{\frac{18}{2}}=3$.

💡 Astuce mémo

Racines multipliées se combinent, racines additionnées ne se combinent pas en général

📖 3. Carrés parfaits et calculatrice

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré parfait : Un carré parfait est un nombre entier naturel dont la racine carrée est un entier naturel.

📝 Points essentiels

• 81 est un carré parfait car $\sqrt{81}=9$, tandis que 7 n’est pas un carré parfait.

• La touche √ de la calculatrice permet d’obtenir une valeur approchée, par exemple $\sqrt{7}\approx2{,}64575$.

💡 Astuce mémo

Un carré parfait possède un côté entier visible sous le radical