Fiche de révision : Nombres entiers et réels

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et nombres premiers
3. Nombres décimaux et rationnels
4. Droite numérique et nombres réels
5. Appartenance et calculs dans les ensembles

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier naturel : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté N.
• Nombre entier relatif : Nombre entier positif, négatif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté Z.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

Compléments

• 4 appartient à N, tandis que −3 n’appartient pas à N mais appartient à Z.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z : les naturels sont inclus dans les relatifs

📖 2. Multiples diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers relatifs a et b avec b non nul, si un entier naturel q vérifie $a=bq$, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
• Nombre pair : Un entier relatif u est pair s’il existe un entier relatif q tel que $u=2q$.
• Nombre impair : Un entier relatif u est impair s’il existe un entier relatif q tel que $u=2q+1$.
• Nombre premier : Un nombre entier est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un entier a est divisible par b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b vaut 0.

Compléments

• 2 est le plus petit nombre premier et le seul nombre premier pair.

📌 La somme de deux multiples d’un même entier relatif a est encore un multiple de a.

📌 Le carré d’un nombre impair est impair.

💡 Astuce mémo

Pair se définit par 2 comme diviseur, premier par ses deux seuls diviseurs positifs

📖 3. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^k}$, où a est un entier relatif et k un entier naturel, et l’ensemble correspondant est noté D.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier est un nombre décimal et tout nombre décimal est un nombre rationnel, ce qui se note Z ⊂ D ⊂ Q.

Compléments

• 0,03 et 3/4 appartiennent à D et à Q, tandis que 1/3 appartient à Q mais pas à D.

📌 Tout nombre rationnel possède une forme irréductible unique $\frac{a}{b}$, où a est un entier relatif, b un entier relatif et leur seul diviseur commun vaut 1.

💡 Astuce mémo

Z ⊂ D ⊂ Q : entier, écriture décimale finie, quotient d’entiers

📖 4. Droite numérique et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : L’ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère (O, I), appelée droite numérique.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre rationnel est réel, ce qui se note Q ⊂ R.

• √2 n’appartient pas à Q et est donc un nombre irrationnel, tandis que π et √2 appartiennent à R.

📌 L’inclusion des ensembles numériques est N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

📌 L’encadrement 1,41 < √2 < 1,42 encadre √2 par deux nombres décimaux à 0,01 près.

• L’arrondi de √2 à 0,01 près, ou à 10^-2 près, est 1,41.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée où chaque point porte l’abscisse d’un réel

📖 5. Appartenance et calculs dans les ensembles

★ À maîtriser

• Dans A = 11/5 − 3/4, la réduction donne A = 29/20, qui appartient à D.

• Pour déterminer la nature d’un nombre, on le simplifie d’abord puis on indique le plus petit ensemble numérique auquel il appartient.

Compléments

• Dans C = (5^-1 × (5^3)^4)/(5 × 5^6), les règles sur les puissances donnent C = 5^4, qui appartient à N, Z, D, Q et R.

• Dans D = (1 − √6)(1 + √6), le produit des conjugués donne D = −5, qui appartient à Z, D, Q et R.

💡 Astuce mémo

Simplifier, puis identifier le plus petit ensemble contenant le résultat

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques