Fiche de révision : Nombres réels et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Racine carrée et carrés parfaits
2. Propriétés algébriques des racines
3. Rationalisation par expressions conjuguées
4. Ensemble des nombres réels
5. Comparaison des nombres réels
6. Intervalles et caractéristiques
7. Encadrements et calculs approchés
8. Puissances de nombres réels

📖 1. Racine carrée et carrés parfaits

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : nombre positif dont le carré est a, noté √a
• Carré parfait : nombre dont la racine carrée est un nombre entier naturel

📝 Points essentiels

• Les égalités fondamentales sont:
  • √25 = 5
  • √36 = 6
  • √1 = 1
  • √0 = 0

📌 Lorsque a est strictement négatif, √a n’existe pas dans les nombres réels.

📐 Formule — Pour a ≥ 0, on a $(√a)^2 = a$ et $√(a^2) = a$.

💡 Astuce mémo

Carré connu → racine carrée positive

📖 2. Propriétés algébriques des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a et b positifs, $√(ab)=√a×√b$ et, si b ≠ 0, $√(a/b)=√a/√b$.

📐 Formule — Pour tous nombres x et y, $x√a+y√a=(x+y)√a$.

Compléments

📌 En général, $√a+√b≠√(a+b)$.

• On obtient √18/√2 = √(18/2) = √9 = 3.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient se séparent, mais une somme de racines ne se sépare pas

📖 3. Rationalisation par expressions conjuguées

🔑 Notions clés & Définitions

• Expressions conjuguées : Les expressions conjuguées de 2 − √3 et de √7 + 3√2 sont respectivement 2 + √3 et √7 − 3√2.

★ À maîtriser

• Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur.

Compléments

• La rationalisation de A = 2/(1 − √3) donne A = −1 − √3.

💡 Astuce mémo

Conjuguée → multiplication → dénominateur sans radical

📖 4. Ensemble des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : nombre qui n’est pas un nombre rationnel
• Nombres réels : ensemble formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels

★ À maîtriser

• Les inclusions entre les ensembles usuels sont $N⊂Z⊂D⊂Q⊂R$.

Compléments

• √2, √3 et π sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 5. Comparaison des nombres réels

★ À maîtriser

📌 Pour deux réels a et b, a = b équivaut à a − b = 0, a < b équivaut à a − b < 0, et a > b équivaut à a − b > 0.

📌 Pour deux réels positifs a et b, a ≤ b équivaut à a² ≤ b² et à √a ≤ √b.

Compléments

• Comme 1/2 − 1/3 = 1/6 > 0, on a 1/2 > 1/3.

💡 Astuce mémo

Comparer les différences : positive signifie supérieur, négative signifie inférieur

📖 6. Intervalles et caractéristiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : partie de R vérifiant une condition donnée

📝 Points essentiels

• Les intervalles bornés correspondent à [a;b] : a ≤ x ≤ b, ]a;b] : a < x ≤ b, [a;b[ : a ≤ x < b et ]a;b[ : a < x < b.

• Les intervalles non bornés sont ]−∞;a] : x ≤ a, ]−∞;a[ : x < a, [a;+∞[ : x ≥ a et ]a;+∞[ : x > a.

📐 Formule — Pour un intervalle borné de bornes a et b, l’amplitude vaut $b−a$ et le centre vaut $c=(a+b)/2$.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 7. Encadrements et calculs approchés

★ À maîtriser

📌 Si a < x < b et c < y < d, alors a + c < x + y < b + d et ac < xy < bd pour a, b, c et d positifs.

• De 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42 et 2,23 ≤ √7 ≤ 2,24, on déduit 3,64 ≤ √2 + √7 ≤ 3,66, d’amplitude 0,02.

Compléments

📌 Si a < x < b et c < y < d, alors −d < −y < −c et a − d < x − y < b − c.

📌 Si a < x < b et c < y < d avec des bornes positives, alors 1/d < 1/y < 1/c et a/d < x/y < b/c.

💡 Astuce mémo

Encadrer → calculer les bornes → déterminer l’amplitude

📖 8. Puissances de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un réel non nul a et un entier naturel n, la puissance a^n est le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≠ 0 et n ≠ 0, $a^{−n}=1/a^n$, et par convention $a^0=1$.

📐 Formule — Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs n et m, $a^n×a^m=a^{n+m}$ et $a^n/a^m=a^{n−m}$.

📐 Formule — Les autres propriétés sont $(a^n)^m=a^{nm}$, $(ab)^n=a^n b^n$ et $(a/b)^n=a^n/b^n$.

Compléments

• On a 4^3 = 64 et 2^(−4) = 1/16.

💡 Astuce mémo

Même base : multiplier additionne les exposants ; diviser les soustrait

📊 Tableaux de synthèse

Types d’intervalles réels