QCM : Nombres réels et racines carrées — 23 questions

Question 1

1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un nombre positif $a$ ?

C’est le nombre négatif dont le carré vaut

a

.

C’est le nombre positif dont le carré vaut

a

.

C’est le nombre dont le double vaut

a

.

C’est l’un des deux nombres opposés dont le carré vaut

a

.

Explication

La racine carrée de $a$ est par définition le nombre positif dont le carré est $a$ . Les nombres dont le carré vaut $a$ peuvent aussi comprendre son opposé, mais celui-ci n’est pas la racine carrée principale.

Answer

C’est le nombre positif dont le carré vaut $$a$$.

Question 2

2. Quelle égalité est correcte parmi les suivantes ?

\sqrt{36}=12

\sqrt{36}=3

\sqrt{36}=6

\sqrt{36}=18

Explication

Comme $6^2=36$ et que la racine carrée est positive, on obtient $\sqrt{36}=6$ . Le nombre $12$ est le double de $6$ , mais son carré vaut $144$ .

Answer

$$\sqrt{36}=6$$

Question 3

3. Que peut-on dire de $\sqrt{-9}$ dans l’ensemble des nombres réels ?

Elle vaut

3

dans les nombres réels.

Elle vaut

9

dans les nombres réels.

Elle n’existe pas dans les nombres réels.

Elle vaut

-3

dans les nombres réels.

Explication

Aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif, donc $\sqrt{-9}$ n’existe pas dans les nombres réels. Le nombre $-3$ a pour carré $9$ et non $-9$ .

Answer

Elle n’existe pas dans les nombres réels.

Question 4

4. Pour $a\ge 0$ , quelle égalité est valide ?

\sqrt{a^2}=a^2

\sqrt{a^2}=2a

\sqrt{a^2}=a

\sqrt{a^2}=-a

Explication

Lorsque $a$ est positif ou nul, la racine carrée de $a^2$ est $a$ , car la racine carrée désigne la valeur positive. L’expression $-a$ ne convient pas lorsque $a>0$ .

Answer

$$\sqrt{a^2}=a$$

Question 5

5. Quelle transformation respecte la propriété du produit des racines carrées pour $a\ge0$ et $b\ge0$ ?

\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b

\sqrt{ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}

\sqrt{ab}=\sqrt a-\sqrt b

\sqrt{ab}=\sqrt a+\sqrt b

Explication

La racine carrée d’un produit se décompose en produit des racines carrées, soit $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ . Une division correspond à une autre propriété et ne décrit pas le produit général.

Answer

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$$

Question 6

6. Quelle expression peut être réduite en regroupant les termes contenant la même racine ?

3\sqrt5+2\sqrt7=6\sqrt5

3\sqrt5+2\sqrt7=5\sqrt5

3\sqrt5+2\sqrt7=5\sqrt{12}

3\sqrt5+2\sqrt5=5\sqrt5

Explication

Les termes contenant le même radicande $5$ se regroupent en additionnant leurs coefficients, ce qui donne $5\sqrt5$ . Les racines $\sqrt5$ et $\sqrt7$ ont des radicandes différents et ne se réduisent pas ainsi.

Answer

$$3\sqrt5+2\sqrt5=5\sqrt5$$

Question 7

7. Quelle est l’expression conjuguée de $\sqrt7+3\sqrt2$ ?

3\sqrt7-\sqrt2

-\sqrt7+3\sqrt2

\sqrt7+3\sqrt2

\sqrt7-3\sqrt2

Explication

L’expression conjuguée conserve les mêmes termes et change le signe qui les relie, donc le conjugué de $\sqrt7+3\sqrt2$ est $\sqrt7-3\sqrt2$ . Modifier les coefficients ou les radicandes ne donne pas l’expression conjuguée.

Answer

$$\sqrt7-3\sqrt2$$

Question 8

8. Quelle opération permet de rationaliser un dénominateur contenant un radical ?

Soustraire le radical au numérateur et au dénominateur.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Élever le numérateur et le dénominateur au carré séparément.

Diviser le numérateur et le dénominateur par le radical.

Explication

La multiplication par l’expression conjuguée transforme le produit du dénominateur en une expression sans radical grâce à une différence de carrés. Élever séparément les termes au carré ne conserve pas en général une fraction équivalente.

Answer

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Question 9

9. Comment appelle-t-on un nombre qui n’est pas rationnel ?

Un nombre décimal

Un nombre irrationnel

Un nombre naturel

Un nombre entier relatif

Explication

Un nombre irrationnel est défini comme un réel qui n’appartient pas à l’ensemble des nombres rationnels. Un nombre décimal, lui, appartient aux rationnels car il possède une écriture décimale finie.

Answer

Un nombre irrationnel

Question 10

10. Quelle description correspond à l’ensemble des nombres réels noté $\mathbb{R}$ ?

Il réunit les nombres entiers et les nombres décimaux

Il contient les nombres rationnels sans les nombres irrationnels

Il réunit les nombres rationnels et les nombres irrationnels

Il contient les nombres naturels sans les nombres négatifs

Explication

L’ensemble $\mathbb{R}$ est constitué des nombres rationnels et des nombres irrationnels. L’ensemble $\mathbb{Q}$ , en revanche, contient les nombres rationnels, mais pas les irrationnels.

Answer

Il réunit les nombres rationnels et les nombres irrationnels

Question 11

11. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles usuels de nombres est correcte ?

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{D}

\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}

Explication

Chaque ensemble est inclus dans le suivant selon l’ordre $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . En particulier, les rationnels sont inclus dans les réels, et non l’inverse.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Question 12

12. Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$ , quelle condition équivaut à $a<b$ ?

a+b<0

a-b<0

a-b>0

a-b=0

Explication

Soustraire $b$ à $a$ conserve la comparaison : $a<b$ équivaut à $a-b<0$ . La condition $a-b>0$ correspond à $a>b$ , tandis que $a-b=0$ correspond à $a=b$ .

Answer

Comparer leurs carrés : $$a^2\le b^2$$

Answer

Une partie de $$\mathbb{R}$$ définie par une condition

Answer

$$]-2;5]$$

Answer

$$[a;+\infty[$$

Answer

Amplitude $$8$$ et centre $$6$$

Answer

$$3,64 \leq \sqrt{2}+\sqrt{7} \leq 3,66$$, d’amplitude $$0,02$$

Answer

On obtient $$ac<xy<bd$$ en multipliant les bornes correspondantes.

Answer

Le produit de $$n$$ facteurs tous égaux à $$a$$.

Answer

$$\frac{1}{a^3}$$

Answer

$$(ab)^n=a^n b^n$$

Question 13

13. Si $a$ et $b$ sont positifs, quelle transformation conserve l’équivalence $a\le b$ ?

Comparer leurs opposés :

-a\le -b

Comparer leurs inverses :

\frac{1}{a}\le\frac{1}{b}

Comparer leurs carrés :

a^2\le b^2

Comparer leurs différences :

a-b\ge 0

Explication

Pour deux réels positifs, $a\le b$ équivaut à $a^2\le b^2$ , et aussi à $\sqrt{a}\le\sqrt{b}$ . La comparaison des inverses renverse au contraire l’ordre lorsque les nombres sont positifs.

Question 14

14. Qu’est-ce qu’un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

Un ensemble de nombres naturels compris entre deux entiers

Une opération qui transforme deux réels en un quotient

Un nombre réel associé à deux coordonnées

Une partie de

\mathbb{R}

définie par une condition

Explication

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est une partie de l’ensemble des réels qui vérifie une condition donnée. Il ne se limite donc pas aux nombres naturels ni à une opération numérique.

Question 15

15. Quel intervalle décrit l’ensemble des réels vérifiant $-2<x\le5$ ?

]-2;5[

]-2;5]

[-2;5]

[-2;5[

Explication

La borne $-2$ est exclue puisque l’inégalité est stricte, tandis que $5$ est incluse puisque l’inégalité est large. La notation correspondante est donc $]-2;5]$ .

Question 16

16. Quelle notation représente l’ensemble des réels vérifiant $x\ge a$ ?

]a;+\infty[

]-\infty;a[

]-\infty;a]

[a;+\infty[

Explication

L’écriture $x\ge a$ inclut la borne $a$ , ce qui donne l’intervalle $[a;+\infty[$ . L’intervalle $]a;+\infty[$ correspondrait à la condition stricte $x>a$ .

Question 17

17. Un intervalle borné a pour bornes $a=2$ et $b=10$ . Quelles sont son amplitude et son centre ?

Amplitude

6

et centre

8

Amplitude

12

et centre

8

Amplitude

8

et centre

6

Amplitude

8

et centre

12

Explication

L’amplitude vaut $b-a=10-2=8$ , tandis que le centre vaut $c=\frac{a+b}{2}=\frac{2+10}{2}=6$ . Le centre donne donc le milieu de l’intervalle, et non sa longueur.

Question 18

18. Si $1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42$ et $2,23 \leq \sqrt{7} \leq 2,24$ , quel encadrement peut-on déduire pour $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ ?

3,63 \leq \sqrt{2}+\sqrt{7} \leq 3,67

, d’amplitude

0,04

3,66 \leq \sqrt{2}+\sqrt{7} \leq 3,68

, d’amplitude

0,02

3,64 \leq \sqrt{2}+\sqrt{7} \leq 3,66

, d’amplitude

0,02

3,64 \leq \sqrt{2}+\sqrt{7} \leq 3,65

, d’amplitude

0,01

Explication

L’addition des bornes inférieures et des bornes supérieures donne $1,41+2,23 \leq \sqrt{2}+\sqrt{7} \leq 1,42+2,24$ , soit l’encadrement indiqué. L’amplitude est donc $3,66-3,64=0,02$ , et non $0,04$ comme dans une estimation trop large.

Question 19

19. Si $a<x<b$ et $c<y<d$ avec des bornes positives, quelle règle permet d’encadrer le produit $xy$ ?

On obtient

ad<xy<bc

en croisant les bornes opposées.

On obtient

ac<xy<bd

en multipliant les bornes correspondantes.

On obtient

bc<xy<ad

en inversant l’ordre des produits.

On obtient

a+b<xy<b+d

en additionnant les bornes.

Explication

Lorsque les quatre bornes sont positives, le produit est encadré par le produit des bornes inférieures et celui des bornes supérieures, donc $ac<xy<bd$ . Le croisement des bornes ne fournit pas la règle générale d’encadrement du produit.

Question 20

20. Pour un réel non nul $a$ et un entier naturel $n$ , que représente la puissance $a^n$ ?

La somme de

n

termes tous égaux à

a

.

L’inverse du produit de

n

facteurs tous égaux à

a

.

Le produit de

n

facteurs tous égaux à

a

.

Le quotient de

a

par un produit de

n

facteurs.

Explication

Par définition, $a^n$ est le produit répété de $n$ facteurs égaux à $a$ . L’inverse de ce produit correspond à une puissance d’exposant négatif, tandis qu’une somme répétée relève de la multiplication.

Question 21

21. Pour un réel non nul $a$ , quelle expression représente $a^{-3}$ ?

a^3

-a^3

\frac{1}{a^3}

\frac{1}{3a}

Explication

Un exposant négatif indique l’inverse de la puissance correspondante : $a^{-3}=\frac{1}{a^3}$ . L’expression $a^3$ conserve un exposant positif et ne traduit donc pas l’inversion demandée.

Question 22

22. Pour des réels non nuls $a$ et $b$ , comment simplifier $\frac{a^5}{a^2}$ ?

a^3

a^7

a^{-3}

a^{10}

Explication

Lors d’une division de puissances de même base, on soustrait les exposants : $\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3$ . L’addition des exposants s’applique à une multiplication, pas à cette division.

Question 23

23. Pour des réels non nuls $a$ et $b$ , quelle égalité permet de développer la puissance d’un produit ?

(ab)^n=a^{n+b}

(ab)^n=a^n b^n

(ab)^n=(a+b)^n

(ab)^n=a^n+b^n

Explication

La puissance d’un produit se distribue aux deux facteurs : $(ab)^n=a^n b^n$ . Remplacer la multiplication par une addition entre les puissances confond la propriété des puissances avec une règle qui n’est pas valable.

QCM : Nombres réels et racines carrées — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un nombre positif $a$ ?

2. Quelle égalité est correcte parmi les suivantes ?

3. Que peut-on dire de $\sqrt{-9}$ dans l’ensemble des nombres réels ?

4. Pour $a\ge 0$ , quelle égalité est valide ?

5. Quelle transformation respecte la propriété du produit des racines carrées pour $a\ge0$ et $b\ge0$ ?

6. Quelle expression peut être réduite en regroupant les termes contenant la même racine ?

7. Quelle est l’expression conjuguée de $\sqrt7+3\sqrt2$ ?

8. Quelle opération permet de rationaliser un dénominateur contenant un radical ?

9. Comment appelle-t-on un nombre qui n’est pas rationnel ?

10. Quelle description correspond à l’ensemble des nombres réels noté $\mathbb{R}$ ?

11. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles usuels de nombres est correcte ?

12. Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$ , quelle condition équivaut à $a<b$ ?

13. Si $a$ et $b$ sont positifs, quelle transformation conserve l’équivalence $a\le b$ ?

14. Qu’est-ce qu’un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

15. Quel intervalle décrit l’ensemble des réels vérifiant $-2<x\le5$ ?

16. Quelle notation représente l’ensemble des réels vérifiant $x\ge a$ ?

17. Un intervalle borné a pour bornes $a=2$ et $b=10$ . Quelles sont son amplitude et son centre ?

18. Si $1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42$ et $2,23 \leq \sqrt{7} \leq 2,24$ , quel encadrement peut-on déduire pour $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ ?

19. Si $a<x<b$ et $c<y<d$ avec des bornes positives, quelle règle permet d’encadrer le produit $xy$ ?

20. Pour un réel non nul $a$ et un entier naturel $n$ , que représente la puissance $a^n$ ?

21. Pour un réel non nul $a$ , quelle expression représente $a^{-3}$ ?

22. Pour des réels non nuls $a$ et $b$ , comment simplifier $\frac{a^5}{a^2}$ ?

23. Pour des réels non nuls $a$ et $b$ , quelle égalité permet de développer la puissance d’un produit ?

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QCM : Nombres réels et racines carrées — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un nombre positif aaa ?

2. Quelle égalité est correcte parmi les suivantes ?

3. Que peut-on dire de −9\sqrt{-9}−9​ dans l’ensemble des nombres réels ?

4. Pour a≥0a\ge 0a≥0, quelle égalité est valide ?

5. Quelle transformation respecte la propriété du produit des racines carrées pour a≥0a\ge0a≥0 et b≥0b\ge0b≥0 ?

6. Quelle expression peut être réduite en regroupant les termes contenant la même racine ?

7. Quelle est l’expression conjuguée de 7+32\sqrt7+3\sqrt27​+32​ ?

8. Quelle opération permet de rationaliser un dénominateur contenant un radical ?

9. Comment appelle-t-on un nombre qui n’est pas rationnel ?

10. Quelle description correspond à l’ensemble des nombres réels noté R\mathbb{R}R ?

11. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles usuels de nombres est correcte ?

12. Pour comparer deux nombres réels aaa et bbb, quelle condition équivaut à a<ba<ba<b ?

13. Si aaa et bbb sont positifs, quelle transformation conserve l’équivalence a≤ba\le ba≤b ?

14. Qu’est-ce qu’un intervalle de R\mathbb{R}R ?

15. Quel intervalle décrit l’ensemble des réels vérifiant −2<x≤5-2<x\le5−2<x≤5 ?

16. Quelle notation représente l’ensemble des réels vérifiant x≥ax\ge ax≥a ?

17. Un intervalle borné a pour bornes a=2a=2a=2 et b=10b=10b=10. Quelles sont son amplitude et son centre ?

18. Si 1,41≤2≤1,421,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,421,41≤2​≤1,42 et 2,23≤7≤2,242,23 \leq \sqrt{7} \leq 2,242,23≤7​≤2,24, quel encadrement peut-on déduire pour 2+7\sqrt{2}+\sqrt{7}2​+7​ ?

19. Si a<x<ba<x<ba<x<b et c<y<dc<y<dc<y<d avec des bornes positives, quelle règle permet d’encadrer le produit xyxyxy ?

20. Pour un réel non nul aaa et un entier naturel nnn, que représente la puissance ana^nan ?

21. Pour un réel non nul aaa, quelle expression représente a−3a^{-3}a−3 ?

22. Pour des réels non nuls aaa et bbb, comment simplifier a5a2\frac{a^5}{a^2}a2a5​ ?

23. Pour des réels non nuls aaa et bbb, quelle égalité permet de développer la puissance d’un produit ?

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1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un nombre positif $a$ ?

3. Que peut-on dire de $\sqrt{-9}$ dans l’ensemble des nombres réels ?

4. Pour $a\ge 0$ , quelle égalité est valide ?

5. Quelle transformation respecte la propriété du produit des racines carrées pour $a\ge0$ et $b\ge0$ ?

7. Quelle est l’expression conjuguée de $\sqrt7+3\sqrt2$ ?

10. Quelle description correspond à l’ensemble des nombres réels noté $\mathbb{R}$ ?

12. Pour comparer deux nombres réels $a$ et $b$ , quelle condition équivaut à $a<b$ ?

13. Si $a$ et $b$ sont positifs, quelle transformation conserve l’équivalence $a\le b$ ?

14. Qu’est-ce qu’un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

15. Quel intervalle décrit l’ensemble des réels vérifiant $-2<x\le5$ ?

16. Quelle notation représente l’ensemble des réels vérifiant $x\ge a$ ?

17. Un intervalle borné a pour bornes $a=2$ et $b=10$ . Quelles sont son amplitude et son centre ?

18. Si $1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42$ et $2,23 \leq \sqrt{7} \leq 2,24$ , quel encadrement peut-on déduire pour $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ ?

19. Si $a<x<b$ et $c<y<d$ avec des bornes positives, quelle règle permet d’encadrer le produit $xy$ ?

20. Pour un réel non nul $a$ et un entier naturel $n$ , que représente la puissance $a^n$ ?

21. Pour un réel non nul $a$ , quelle expression représente $a^{-3}$ ?

22. Pour des réels non nuls $a$ et $b$ , comment simplifier $\frac{a^5}{a^2}$ ?

23. Pour des réels non nuls $a$ et $b$ , quelle égalité permet de développer la puissance d’un produit ?