Fiche de révision : Ensembles et intervalles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Encadrement des nombres réels
3. Intervalles de nombres réels
4. Inéquations du premier degré
5. Unions et intersections
6. Valeur absolue et distance

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier naturel : Nombre entier positif, et l’ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.
• Nombre entier relatif : Nombre entier positif ou négatif, et l’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.
• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, et son ensemble est noté 𝔻.
• Nombre rationnel : Nombre qui s’écrit sous la forme d’un quotient a/b, où a et b sont des entiers et b est non nul, et l’ensemble des rationnels est noté ℚ.
• Nombre réel : Abscisse d’un point d’une droite graduée appelée droite numérique, et l’ensemble des réels est noté ℝ.

📝 Points essentiels

📌 Les nombres naturels sont inclus dans les entiers relatifs, ce qui se note ℕ ⊂ ℤ, et les nombres réels comprennent notamment des nombres irrationnels comme √2.

💡 Astuce mémo

De ℕ à ℤ, puis 𝔻, ℚ et ℝ : les ensembles s’élargissent progressivement.

📖 2. Encadrement des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Pour n ∈ ℕ*, encadrer un réel x à 10⁻ⁿ près consiste à trouver un nombre décimal d tel que $d \le x < d + 10^{-n}$.

📝 Points essentiels

• Le cours demande de donner un encadrement à 10⁻³ de √2 et à 10⁻⁴ de π à l’aide d’une calculatrice.

📖 3. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie de l’ensemble des nombres réels qui regroupe les réels compris entre certaines bornes, éventuellement infinies.

📝 Points essentiels

• Les inégalités 2 ≤ x ≤ 4, −1 < x ≤ 3, 0 ≤ x < 2 et 2 < x < 4 se notent respectivement [2 ; 4], ]−1 ; 3], [0 ; 2[ et ]2 ; 4[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue.

📖 4. Inéquations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Inégalité qui comporte une ou plusieurs inconnues.

★ À maîtriser

• Résoudre une inéquation consiste à déterminer l’ensemble de toutes les valeurs des inconnues qui vérifient l’inégalité.

Compléments

• Le cours propose de résoudre l’inéquation du premier degré à une inconnue −2x − 3 < 4x + 7 et de donner les solutions sous forme d’un intervalle.

💡 Astuce mémo

Transformer l’inégalité → obtenir les valeurs solutions → les représenter par un intervalle.

📖 5. Unions et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B, noté A ∩ B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, noté A ∪ B.

📝 Points essentiels

• Le cours demande de déterminer l’intersection et la réunion de I = [−1 ; 3] et J = ]0 ; 4[, puis de I = ]−∞ ; −1] et J = [1 ; 4].

💡 Astuce mémo

Intersection = éléments communs ; réunion = éléments appartenant à au moins un ensemble.

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance à zéro sur une droite graduée.

★ À maîtriser

• La distance entre les points A et B d’abscisses respectives a et b est $|a-b|$.

📌 Pour a ∈ ℝ et r, la condition $|x-a|\le r$ signifie que x appartient à l’intervalle [a − r ; a + r].

Compléments

📌 Pour tout réel x, $|x-5|=x-5$ si x ≥ 5 et $|x-5|=5-x$ si x ≤ 5.

• La condition |x − 5| ≤ 2 signifie que x appartient à l’intervalle [3 ; 7].

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance entre deux points sur une droite graduée.

📊 Tableaux de synthèse

Principaux ensembles de nombres