Fiche de révision : Racines carrées et opérations

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation géométrique
2. Simplification des racines carrées
3. Addition et soustraction des radicaux
4. Produit et quotient de racines
5. Rationalisation du dénominateur

📖 1. Définition et représentation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique nombre positif dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📌 Si a ≥ 0, alors √a est définie, √a ≥ 0 et $(\sqrt{a})^2=a$ ; si a < 0, √a n’est pas définie dans ce cours.

Compléments

• La racine carrée d’un carré parfait est un nombre entier, par exemple √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4 et √25 = 5.

💡 Astuce mémo

Un carré d’aire a possède un côté de longueur √a.

📖 2. Simplification des racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a et b positifs, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$.

• Pour simplifier √n, on écrit n comme le produit du plus grand carré parfait possible et d’un entier, puis on extrait la racine du carré parfait.

Compléments

• Les simplifications usuelles sont √63 = 3√7, √32 = 4√2 et √75 = 5√3.

💡 Astuce mémo

Radicande → carré parfait × reste → racine simplifiée

📖 3. Addition et soustraction des radicaux

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire des racines carrées, on regroupe uniquement celles qui ont le même radicande.

📌 La propriété de multiplication ne s’applique pas à l’addition : √(16 + 9) = 5 alors que √16 + √9 = 7, donc √(16 + 9) ≠ √16 + √9.

Compléments

• L’expression 3√2 + 5√2 − 7√2 + 2√2 se réduit à 3√2 en additionnant les coefficients de √2.

• L’expression 5√5 − 6√3 − 8√3 + √5 se réduit à 6√5 − 14√3 en regroupant séparément les racines de radicandes 5 et 3.

💡 Astuce mémo

Même radicande : regroupement possible ; radicandes différents : regroupement impossible.

📖 4. Produit et quotient de racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a positif et b strictement positif, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Compléments

• On obtient √(121/25) = 11/5 en appliquant la propriété du quotient.

• On obtient √(32/81) = 4√2/9 en simplifiant √32 au numérateur et √81 au dénominateur.

💡 Astuce mémo

MP : multiplication et partage des racines

📖 5. Rationalisation du dénominateur

★ À maîtriser

📌 Pour rationaliser un dénominateur de la forme 3 + √5 ou 4 − √5, on multiplie par sa forme conjuguée, respectivement 3 − √5 ou 4 + √5.

• Pour supprimer un radical au dénominateur de 2/√5, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √5, ce qui donne 2√5/5.

Compléments

📐 Formule — La rationalisation par une forme conjuguée utilise l’identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

• La rationalisation de 7/(3 + √5) donne (21 − 7√5)/4.

💡 Astuce mémo

Multiplier par la racine, ou par la forme conjuguée, puis utiliser une identité remarquable.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les racines carrées