QCM : Racines carrées et opérations — 10 questions

Question 1

1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un réel positif $a$ ?

C’est un nombre positif dont le double vaut

a

.

Ce sont les deux nombres opposés dont le carré vaut

a

.

C’est l’unique nombre négatif dont le carré vaut

a

.

C’est l’unique nombre positif dont le carré vaut

a

.

Explication

La racine carrée d’un réel positif $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . Les deux nombres opposés peuvent avoir le même carré, mais ils ne sont pas tous deux la racine carrée de $a$ .

Answer

C’est l’unique nombre positif dont le carré vaut $$a$$.

Question 2

2. Pour quelle valeur de $a$ l’expression $\sqrt{a}$ est-elle définie dans ce cours ?

Pour tout réel

a

, car chaque réel possède une racine carrée.

Pour

a \ge 0

, avec

\sqrt{a} \ge 0

et

(\sqrt{a})^2=a

.

Pour

a \le 0

, avec

\sqrt{a}

toujours positive.

Pour

a > 0

, avec une racine carrée pouvant être négative.

Explication

Dans ce cours, $\sqrt{a}$ est définie lorsque $a \ge 0$ , elle est positive ou nulle et vérifie $(\sqrt{a})^2=a$ . Pour un radicande négatif, cette racine carrée n’est pas définie dans le cadre étudié.

Answer

Pour $$a \ge 0$$, avec $$\sqrt{a} \ge 0$$ et $$(\sqrt{a})^2=a$$.

Question 3

3. Quelle propriété permet de simplifier le produit de deux racines carrées positives ?

\sqrt{ab}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

\sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}

Explication

Pour des nombres positifs $a$ et $b$ , la racine carrée d’un produit se décompose en produit des racines carrées. Cette règle concerne la multiplication et ne permet pas de séparer une somme sous un radical.

Answer

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$$

Question 4

4. Quelle méthode permet de simplifier correctement $\sqrt{n}$ ?

Écrire

n

comme une somme de carrés, puis additionner les racines obtenues.

Choisir un facteur quelconque de

n

, puis extraire sa racine sans vérifier sa nature.

Écrire

n

comme le produit du plus grand carré parfait possible et d’un entier, puis extraire sa racine.

Remplacer le radicande par son carré parfait le plus proche, puis calculer directement la racine.

Explication

La simplification consiste à extraire le plus grand facteur qui est un carré parfait, car sa racine est un entier. Le facteur restant n’a pas besoin d’être extrait s’il ne constitue pas un carré parfait.

Answer

Écrire $$n$$ comme le produit du plus grand carré parfait possible et d’un entier, puis extraire sa racine.

Question 5

5. Quels termes peut-on regrouper lors d’une addition ou d’une soustraction de racines carrées ?

Les termes ayant le même radicande.

Les termes dont les radicandes sont différents.

Les termes ayant des coefficients opposés.

Les termes dont les coefficients sont identiques.

Explication

Les racines carrées se comportent comme des termes semblables lorsqu’elles possèdent le même radicande, ce qui permet d’additionner ou de soustraire leurs coefficients. Des radicandes différents correspondent à des termes distincts qui restent séparés.

Answer

Les termes ayant le même radicande.

Question 6

6. Quelle égalité illustre que la racine carrée ne se distribue pas sur une addition ?

\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt{9}=7

\sqrt{16+9}=7

et

\sqrt{16}+\sqrt{9}=5

\sqrt{16+9}=\sqrt{16}-\sqrt{9}=1

\sqrt{16+9}=5

et

\sqrt{16}+\sqrt{9}=7

Explication

On obtient $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ , tandis que $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$ . La propriété de décomposition utilisée pour un produit ne s’applique donc pas à une somme.

Answer

$$\sqrt{16+9}=5$$ et $$\sqrt{16}+\sqrt{9}=7$$

Question 7

7. Pour quelles conditions sur $a$ et $b$ peut-on appliquer la propriété $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dans les nombres réels ?

a>0

et

b>0

a>0

et

b\geq 0

a\geq 0

et

b>0

a\geq 0

et

b\neq 0

Explication

La propriété exige que $a$ soit positif ou nul et que $b$ soit strictement positif, afin que les racines et le quotient soient définis dans les réels. L’exigence $a>0$ est trop forte, car le numérateur peut aussi être nul.

Answer

$$a\geq 0$$ et $$b>0$$

Question 8

8. Quelle est la forme simplifiée de $\sqrt{\frac{121}{25}}$ ?

\frac{121}{5}

\frac{11}{25}

\frac{5}{11}

\frac{11}{5}

Explication

En appliquant la propriété du quotient, on obtient $\sqrt{\frac{121}{25}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}}=\frac{11}{5}$ . La fraction conserve donc les racines carrées simplifiées de son numérateur et de son dénominateur, et non les nombres initiaux eux-mêmes.

Answer

$$\frac{11}{5}$$

Question 9

9. Quelle transformation rationalise correctement le dénominateur de $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ?

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

\sqrt{5}

pour obtenir

\frac{2\sqrt{5}}{5}

.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

5

pour obtenir

\frac{10}{5\sqrt{5}}

.

Multiplier le dénominateur par

\sqrt{5}

pour obtenir

\frac{2}{5}

.

Multiplier le numérateur par

\sqrt{5}

pour obtenir

\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

.

Explication

La rationalisation consiste à multiplier les deux termes de la fraction par $\sqrt{5}$ , ce qui donne $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ . Modifier le seul numérateur ne préserve pas correctement la valeur de la fraction.

Answer

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $$\sqrt{5}$$ pour obtenir $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$.

Question 10

10. Par quelle expression faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur pour rationaliser $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ ?

3-\sqrt{5}

\sqrt{5}-3

5-3\sqrt{5}

3+\sqrt{5}

Explication

La forme conjuguée de $3+\sqrt{5}$ est $3-\sqrt{5}$ , car le signe entre les deux termes est inversé. Multiplier par la même expression ne produit pas la différence de deux carrés nécessaire pour supprimer le radical du dénominateur.

Answer

$$3-\sqrt{5}$$

QCM : Racines carrées et opérations — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un réel positif $a$ ?

2. Pour quelle valeur de $a$ l’expression $\sqrt{a}$ est-elle définie dans ce cours ?

3. Quelle propriété permet de simplifier le produit de deux racines carrées positives ?

4. Quelle méthode permet de simplifier correctement $\sqrt{n}$ ?

5. Quels termes peut-on regrouper lors d’une addition ou d’une soustraction de racines carrées ?

6. Quelle égalité illustre que la racine carrée ne se distribue pas sur une addition ?

7. Pour quelles conditions sur $a$ et $b$ peut-on appliquer la propriété $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dans les nombres réels ?

8. Quelle est la forme simplifiée de $\sqrt{\frac{121}{25}}$ ?

9. Quelle transformation rationalise correctement le dénominateur de $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ?

10. Par quelle expression faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur pour rationaliser $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ ?

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QCM : Racines carrées et opérations — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un réel positif aaa ?

2. Pour quelle valeur de aaa l’expression a\sqrt{a}a​ est-elle définie dans ce cours ?

3. Quelle propriété permet de simplifier le produit de deux racines carrées positives ?

4. Quelle méthode permet de simplifier correctement n\sqrt{n}n​ ?

5. Quels termes peut-on regrouper lors d’une addition ou d’une soustraction de racines carrées ?

6. Quelle égalité illustre que la racine carrée ne se distribue pas sur une addition ?

7. Pour quelles conditions sur aaa et bbb peut-on appliquer la propriété ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}ba​​=b​a​​ dans les nombres réels ?

8. Quelle est la forme simplifiée de 12125\sqrt{\frac{121}{25}}25121​​ ?

9. Quelle transformation rationalise correctement le dénominateur de 25\frac{2}{\sqrt{5}}5​2​ ?

10. Par quelle expression faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur pour rationaliser 13+5\frac{1}{3+\sqrt{5}}3+5​1​ ?

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1. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un réel positif $a$ ?

2. Pour quelle valeur de $a$ l’expression $\sqrt{a}$ est-elle définie dans ce cours ?

4. Quelle méthode permet de simplifier correctement $\sqrt{n}$ ?

7. Pour quelles conditions sur $a$ et $b$ peut-on appliquer la propriété $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dans les nombres réels ?

8. Quelle est la forme simplifiée de $\sqrt{\frac{121}{25}}$ ?

9. Quelle transformation rationalise correctement le dénominateur de $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ?

10. Par quelle expression faut-il multiplier le numérateur et le dénominateur pour rationaliser $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ ?