Fiche de révision : Nombres premiers et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Multiples et diviseurs
3. Critères de divisibilité
4. Définition des nombres premiers
5. Crible et liste des premiers
6. Décomposition en facteurs premiers
7. Fractions irréductibles

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : d’un nombre entier par un autre nombre entier différent de zéro consiste à trouver un quotient et un reste entiers.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’égalité euclidienne s’écrit $\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$ avec $0 \leq \text{reste} < \text{diviseur}$.

Compléments

• La division euclidienne de 421 par 24 donne le quotient 17 et le reste 13, donc $421 = 24 \times 17 + 13$.

💡 Astuce mémo

Dividende → diviseur → quotient → reste

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un nombre A est un multiple d’un nombre B s’il existe un nombre entier k tel que $A = k \times B$.

★ À maîtriser

📌 Si le reste de la division euclidienne de a par b, avec b différent de zéro, est nul, alors a est divisible par b, b est un diviseur de a et a est un multiple de b.

Compléments

• Le nombre 1 est un diviseur de tout nombre entier, le nombre 0 est un multiple de tout nombre entier et 0 n’est jamais un diviseur.

• Comme $12 = 12 \times 1 = 6 \times 2 = 3 \times 4$, 12 est un multiple de 1, de 2, de 3, de 4, de 6 et de 12.

💡 Astuce mémo

A est multiple de B, tandis que B est diviseur de A

📖 3. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et il est divisible par 9 si cette somme est divisible par 9.

Compléments

📌 Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, et il est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3.

💡 Astuce mémo

2-5-10 par le chiffre des unités ; 3-9 par la somme des chiffres

📖 4. Définition des nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Le nombre 0 n’est pas premier car il ne peut pas être divisé par lui-même, et le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.

• Le nombre 2 est le seul nombre pair qui est premier.

Compléments

• 21 n’est pas premier car ses diviseurs sont 1, 3, 7 et 21, tandis que 13 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 13.

💡 Astuce mémo

Premier = exactement deux diviseurs ; 1 et 0 ne sont pas premiers

📖 5. Crible et liste des premiers

★ À maîtriser

• 🔄 Le crible d’Eratosthène suit ces étapes:

  1. Barrer 1
  2. Entourer 2
  3. Barrer les multiples de 2 qui ne sont pas premiers
  4. Entourer le plus petit nombre non barré
  5. Barrer ses multiples
  6. Répéter jusqu’à ce que le plus petit nombre non barré soit supérieur à 10

• La liste des nombres premiers inférieurs à 100 est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

Compléments

• La liste des nombres premiers est infinie.

💡 Astuce mémo

Entourer le plus petit non barré, puis barrer ses multiples

📖 6. Décomposition en facteurs premiers

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre entier positif supérieur à 1 peut se décomposer en un unique produit de facteurs premiers.

📖 7. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

• Pour rendre une fraction irréductible, il faut décomposer son numérateur puis son dénominateur en produits de facteurs premiers.

Compléments

• La fraction $\frac{5}{9}$ est irréductible car les diviseurs de 5 sont 1 et 5, tandis que les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9.

💡 Astuce mémo

Décomposer numérateur et dénominateur → supprimer les diviseurs communs

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité