Fiche de révision : Équation polynôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et nombre de racines
2. Cas du discriminant positif
3. Somme et produit des racines
4. Écritures du polynôme

📖 1. Discriminant et nombre de racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le discriminant d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, le polynôme possède 0 racine réelle, mais son tableau de signe dépend du signe de $a$.

📌 Si $\Delta>0$, le polynôme possède 2 racines réelles.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 2. Cas du discriminant positif

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-5x+6$, le discriminant vaut $\Delta=25-24=1$ et les racines sont $x_1=2$ et $x_2=3$.

• Pour $f(x)=-3x^2+4x-7$, le discriminant vaut $\Delta=16-84=-68$ et le signe de $a$ est négatif.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis x₁ et x₂

📖 3. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si une racine est connue, la somme des racines vérifie $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule - Si une racine est connue, le produit des racines vérifie $P=x_1\times x_2=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

S = Somme, P = Produit

📖 4. Écritures du polynôme

★ À maîtriser

📐 Formule - L’écriture factorisée du polynôme est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📐 Formule - L’écriture canonique du polynôme est donnée par $f(x)=a(x-\alpha)\beta$.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et racines