QCM : Équation polynôme du second degré (5 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le polynôme du second degré f(x)=3x2−5x+2f(x)=3x^2-5x+2, quelle expression donne correctement le discriminant ?

32−4×(−5)×23^2-4\times(-5)\times2
52−4×(−3)×25^2-4\times(-3)\times2
(−5)2−4×3×2(-5)^2-4\times3\times2
(−5)2+4×3×2(-5)^2+4\times3\times2

$$(-5)^2-4\times3\times2$$

Explication

Le discriminant se calcule avec la formule Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, ce qui donne ici (−5)2−4×3×2(-5)^2-4\times3\times2. L’expression avec une addition entre les deux termes correspond à la confusion classique entre b2−4acb^2-4ac et b2+4acb^2+4ac.

2. Combien de racines réelles possède un polynôme du second degré lorsque son discriminant est négatif ?

Aucune racine réelle
Deux racines réelles distinctes
Trois racines réelles distinctes
Une racine réelle double

Aucune racine réelle

Explication

Lorsque Δ<0\Delta<0, le polynôme ne possède aucune racine réelle. Un discriminant positif correspond au contraire à deux racines réelles distinctes, et non à l’absence de racine.

3. Une équation du second degré a un discriminant strictement positif : que peut-on conclure sur ses solutions réelles ?

Elle possède une racine réelle et une racine complexe
Elle ne possède aucune racine réelle
Elle possède une seule racine réelle double
Elle possède deux racines réelles distinctes

Elle possède deux racines réelles distinctes

Explication

Un discriminant strictement positif indique l’existence de deux racines réelles distinctes. La présence d’une racine double correspond plutôt au cas Δ=0\Delta=0, tandis que Δ<0\Delta<0 entraîne l’absence de racine réelle.

4. Lorsque Δ>0\Delta>0, quelle formule correspond à la racine notée x1x_1 ?

x1=−b+Δ2ax_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=b−Δ2ax_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Explication

Dans le cas Δ>0\Delta>0, la racine x1x_1 est définie par −b−Δ2a\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, tandis que le signe plus est associé à x2x_2. Remplacer Δ\sqrt{\Delta} par Δ\Delta ne respecte pas la formule des racines.

5. Pour le polynôme f(x)=x2−5x+6f(x)=x^2-5x+6, quelles sont les racines réelles ?

x1=1x_1=1 et x2=6x_2=6
x1=2x_1=2 et x2=3x_2=3
x1=−2x_1=-2 et x2=−3x_2=-3
x1=−1x_1=-1 et x2=−6x_2=-6

$$x_1=2$$ et $$x_2=3$$

Explication

Ici, Δ=(−5)2−4×1×6=1\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=1, puis les formules donnent les racines 22 et 33. Les valeurs 11 et 66 sont les coefficients constants associés à la factorisation, mais elles ne sont pas les racines.

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Quelle est la formule du discriminant d'un polynôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ?

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Que signifie Δ<0\Delta < 0 pour un polynôme du second degré ?

Il possède 0 racine réelle.

De quoi dépend le tableau de signe si Δ<0\Delta < 0 ?

Du signe de aa.

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