Fiche de révision : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques

📋 Plan du Cours

1. Équation de d’Alembert
2. Ondes progressives et sphériques
3. Ondes stationnaires
4. Ondes planes harmoniques
5. Dispersion et paquets d’onde
6. Équations locales de Maxwell
7. Potentiels électromagnétiques
8. Charges, courants et conservation
9. Formes intégrales et induction
10. Énergie électromagnétique
11. Ondes électromagnétiques dans le vide
12. Champ et polarisation d’une OPHPH
13. Polarisations rectiligne et elliptique
14. Polarisation circulaire et sens de parcours
15. Lumière naturelle et dispositifs polarisants

📖 1. Équation de d’Alembert

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde : Perturbation d’un état d’équilibre qui dépend à la fois de l’espace et du temps et vérifie une équation différentielle appelée équation d’onde.
• Équation de d’Alembert : Une perturbation scalaire f(r,t) vérifie l’équation de d’Alembert si $\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0$, où c est la célérité.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le laplacien scalaire s’écrit $\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$ en coordonnées cartésiennes.

📐 Formule — Le laplacien vectoriel vérifie $\Delta\vec F=\vec{\nabla}(\operatorname{div}\vec F)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec F)$.

💡 Astuce mémo

Couplage espace-temps → propagation à la célérité c

📖 2. Ondes progressives et sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde unidimensionnelle : Décrite par une fonction qui ne dépend que d’une seule variable d’espace, même si sa propagation peut avoir lieu dans un espace à deux ou trois dimensions.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les solutions générales unidimensionnelles de l’équation de d’Alembert sont $f(z,t)=g(z-ct)+h(z+ct)$.

• Le terme g(z−ct) se propage à la vitesse c dans le sens des z croissants, tandis que h(z+ct) se propage à la vitesse −c dans le sens des z décroissants.

📐 Formule — Une onde sphérique progressive s’écrit $f(r,t)=\frac{1}{r}g(r-ct)+\frac{1}{r}h(r+ct)$, avec un terme divergent et un terme convergent.

Compléments

• Une onde progressive se déplaçant dans la direction du vecteur unitaire u s’écrit g(u·r−ct) ou h(u·r+ct).

💡 Astuce mémo

g(z−ct) avance, h(z+ct) recule

📖 3. Ondes stationnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde stationnaire : Onde dont les dépendances spatiale et temporelle sont découplées, par exemple $f(r,t)=A\cos(\vec k\cdot\vec r+\phi)\cos(\omega t+\psi)$, et qui ne se propage pas.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour être solution de l’équation de d’Alembert, une onde stationnaire doit vérifier $k^2=\frac{\omega^2}{c^2}$.

Compléments

📌 Une onde stationnaire peut être décomposée en deux ondes progressives contrapropageantes, et une onde progressive peut être décomposée en ondes stationnaires.

📌 Pour un problème de propagation, on choisit une décomposition en ondes progressives, tandis que pour une onde confinée dans l’espace on privilégie une décomposition en ondes stationnaires.

💡 Astuce mémo

Onde progressive : phase couplée ; onde stationnaire : espace et temps découplés

📖 4. Ondes planes harmoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• OPHPH : Une OPHPH est une onde plane, homogène, progressive et harmonique, donc une onde dont la phase est $\phi=\vec k\cdot\vec r-\omega t+\phi_0$ et qui s’écrit $f(\vec r,t)=A\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t+\phi_0)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une OPHPH, la pulsation et la longueur d’onde vérifient $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, tandis que la période temporelle vérifie $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

• La représentation complexe d’une OPHPH permet de calculer avec une exponentielle complexe, puis de retrouver l’onde physique en prenant sa partie réelle.

Compléments

📌 Pour deux grandeurs périodiques, la moyenne temporelle de leur produit peut se calculer avec les représentations complexes selon $\langle ab\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}(a b^\ast)$.

💡 Astuce mémo

OPHPH : Plane, Homogène, Progressive, Harmonique

📖 5. Dispersion et paquets d’onde

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de dispersion : La relation de dispersion est l’équation algébrique $k=k(\omega)$ obtenue en recherchant une OPHPH solution de l’équation de propagation.
• Vitesse de phase : La vitesse de phase d’une OPHPH est la vitesse de déplacement de sa surface d’onde et vaut $v_\varphi(\omega)=\frac{\omega}{k'}=\frac{\omega}{\operatorname{Re}(k)}$.

• Paquet d’onde : Un paquet d’onde est une superposition d’une infinité d’OPHPH dont les pulsations sont proches d’une pulsation centrale ω0, avec $\Delta\omega\ll\omega_0$.

• Vitesse de groupe : Dans un milieu faiblement dispersif, la vitesse de groupe de l’enveloppe d’un paquet d’onde est définie par $v_g=\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{\omega_0}$.
• Indice d’un milieu : L’indice d’un milieu est défini par $k(\omega)=n(\omega)\frac{\omega}{c}$ et peut être complexe, avec $n=n'+in''$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour l’équation de d’Alembert, la relation de dispersion est $k^2=\frac{\omega^2}{c^2}$, donc $k=\pm\frac{\omega}{c}$ et $c=\lambda f$.

📐 Formule — Pour une relation de dispersion complexe $k=k'+ik''$, l’onde s’écrit avec une amplitude proportionnelle à $e^{-k''z}$ et une phase gouvernée par k′.

Compléments

• Pour l’équation de d’Alembert, la vitesse de groupe est égale à la vitesse de phase et vaut c.

💡 Astuce mémo

vitesse de phase pour la porteuse, vitesse de groupe pour l’enveloppe

📖 6. Équations locales de Maxwell

★ À maîtriser

• Les équations de Maxwell décrivent les champs électrique et magnétique produits par les charges et les courants, ainsi que leur évolution dans le vide et les milieux matériels.

📐 Formule — Les quatre équations locales de Maxwell sont $\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$, $\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$, $\operatorname{rot}\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$ et $\operatorname{div}\vec B=0$.

📐 Formule — La célérité de la lumière dans le vide vérifie $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$ avec $c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}\approx3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Compléments

• Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère relient les champs aux sources ρ et j, tandis que Maxwell-Faraday et Maxwell-Thomson sont des équations de structure.

📖 7. Potentiels électromagnétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel vecteur : Champ tel que $\vec B=\operatorname{rot}\vec A$ lorsque la divergence du champ magnétique est nulle.
• Potentiel scalaire : Défini par la relation $\vec E=-\operatorname{grad}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les champs électrique et magnétique s’expriment en fonction des potentiels par $\vec E=-\operatorname{grad}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$ et $\vec B=\operatorname{rot}\vec A$.

Compléments

• Le potentiel vecteur n’est pas unique, car pour toute fonction scalaire f, le champ $\vec A'=\vec A+\operatorname{grad}f$ produit le même champ magnétique.

💡 Astuce mémo

Les champs E et B sont physiques ; les potentiels A et V dépendent du choix de jauge.

📖 8. Charges, courants et conservation

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de charge : Représente la charge électrique par unité de volume à l’échelle mésoscopique.
• Densité de courant : Vecteur $\vec j=\sum_{k=1}^{N}\rho_k\vec v_k$, de norme exprimée en ampères par mètre carré.

★ À maîtriser

📐 Formule — La conservation locale de la charge électrique s’écrit $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\vec j=0$.

Compléments

• L’échelle mésoscopique est intermédiaire entre l’échelle atomique et l’échelle macroscopique, typiquement de l’ordre du micromètre, et permet de moyenner les fluctuations microscopiques tout en conservant des variations spatiales.

📐 Formule — Pour un seul type de porteur mobile, la densité de courant vérifie $\vec j=\rho\vec v$.

💡 Astuce mémo

Transport des charges → densité de courant → conservation locale.

📖 9. Formes intégrales et induction

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le théorème de Green-Ostrogradski relie le flux d’un champ à travers une surface fermée à l’intégrale de sa divergence dans le volume intérieur : $\iiint_V\operatorname{div}\vec F\,dV=\oiint_S\vec F\cdot d\vec S$.

📐 Formule — Le théorème de Green-Stokes relie la circulation d’un champ sur un contour fermé au flux de son rotationnel à travers une surface ouverte : $\iint_S\operatorname{rot}\vec F\cdot d\vec S=\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell$.

📐 Formule — La forme intégrale de Maxwell-Gauss est $\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$, ce qui relie le flux électrique fermé à la charge intérieure.

📐 Formule — La forme intégrale de Maxwell-Thomson est $\oiint_S\vec B\cdot d\vec S=0$ pour toute surface fermée, ce qui traduit l’absence de monopôles magnétiques observés.

📐 Formule — La loi de Faraday s’écrit $e=-\frac{d\Phi}{dt}$ : la force électromotrice est l’opposé de la variation temporelle du flux magnétique.

📐 Formule — La forme intégrale de Maxwell-Ampère est $\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\iint_S\frac{\partial\vec E}{\partial t}\cdot d\vec S\right)$, où le second terme est le courant de déplacement.

💡 Astuce mémo

Divergence → flux ; rotationnel → circulation.

📖 10. Énergie électromagnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité d’énergie électromagnétique : Énergie électromagnétique par unité de volume et s’exprime en joules par mètre cube.
• Vecteur de Poynting : Décrit le flux local de puissance électromagnétique et s’exprime en watts par mètre carré.

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance fournie par le champ à une particule chargée vaut $P=\vec F\cdot\vec v=q\vec v\cdot\vec E$, car la force magnétique ne travaille pas.

📐 Formule — Le théorème de Poynting s’écrit $\frac{\partial u_{em}}{\partial t}+\operatorname{div}\vec\Pi=-\vec j\cdot\vec E$.

📐 Formule — La densité d’énergie et le vecteur de Poynting sont $u_{em}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\vec E^{\,2}+\frac{\vec B^{\,2}}{2\mu_0}$ et $\vec\Pi=\frac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}$.

Compléments

📌 Dans le vide sans courants, $\vec j=\vec 0$, le terme d’échange avec les charges disparaît et l’énergie électromagnétique est conservée.

💡 Astuce mémo

Champ électromagnétique → énergie stockée et transportée → échange avec les charges.

📖 11. Ondes électromagnétiques dans le vide

🔑 Notions clés & Définitions

• Lumière visible : Ensemble des ondes électromagnétiques dont les longueurs d’onde appartiennent à l’intervalle [400 nm ; 750 nm], avec des fréquences de l’ordre de 10^15 Hz.

📝 Points essentiels

• Dans le vide sans charges ni courants, les champs électrique et magnétique peuvent se propager parce que les variations temporelles de l’un constituent des sources pour l’autre.

📐 Formule — Dans le vide, chaque composante de E et de B vérifie l’équation de d’Alembert $\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0$.

📐 Formule — Pour une OPHPH électromagnétique dans le vide, la relation de dispersion est $\vec k^{\,2}=\frac{\omega^2}{c^2}$ et les vitesses de phase et de groupe vérifient $v_\varphi=v_g=c$.

📌 Une OPHPH électromagnétique dans le vide est transverse : les champs E et B sont tous deux perpendiculaires au vecteur d’onde k et sont eux-mêmes perpendiculaires entre eux.

📐 Formule — La relation de structure d’une OPHPH électromagnétique en représentation complexe est $\vec B=\frac{\vec k\wedge\vec E}{\omega}$.

📐 Formule — Pour une OPHPH dans le vide, la densité d’énergie est $u_{em}=\varepsilon_0\vec E^{\,2}$ et le vecteur de Poynting est $\vec\Pi=c\,u_{em}\,\vec u$.

💡 Astuce mémo

Dans le vide : propagation sans dispersion ni atténuation, contrairement aux milieux dispersifs.

📖 12. Champ et polarisation d’une OPHPH

🔑 Notions clés & Définitions

• Polarisation : La trajectoire décrite par l’extrémité du vecteur champ électrique au cours du temps dans une surface d’onde.

★ À maîtriser

• Pour une OPHPH se propageant selon l’axe Oz, les composantes longitudinales sont nulles, donc Ez = 0 et Bz = 0, et les deux composantes indépendantes du champ électrique sont Ex et Ey.

Compléments

📐 Formule — Pour une onde se propageant selon Oz, le champ électrique s’écrit $\vec E(M,t)=\begin{pmatrix}E_{0x}\cos(kz-\omega t+\varphi_{0x})\E_{0y}\cos(kz-\omega t+\varphi_{0y})\\0\end{pmatrix}$.

📐 Formule — Le champ magnétique associé vérifie $\vec B=\frac{\vec k\wedge\vec E}{\omega}=\begin{pmatrix}-E_y/c\E_x/c\\0\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Propagation selon Oz : le champ reste dans le plan xy, jamais selon z

📖 13. Polarisations rectiligne et elliptique

🔑 Notions clés & Définitions

• Polarisation rectiligne : Lorsque la trajectoire de l’extrémité du champ électrique est une droite passant par l’origine.

★ À maîtriser

📌 Une OPHPH est polarisée rectilignement si une composante du champ est nulle ou si le déphasage vérifie $\Delta\varphi=0\ [\pi]$.

📐 Formule — La trajectoire générale du champ électrique vérifie $\frac{E_x^2}{E_{0x}^2}+\frac{E_y^2}{E_{0y}^2}-2\frac{E_xE_y}{E_{0x}E_{0y}}\cos(\Delta\varphi)=\sin^2(\Delta\varphi)$, qui est l’équation d’une ellipse.

Compléments

• Les axes de l’ellipse coïncident avec les axes x et y lorsque le déphasage vérifie $\Delta\varphi=\frac{\pi}{2}\ [\pi]$.

💡 Astuce mémo

Déphasage nul → droite ; déphasage quelconque → ellipse

📖 14. Polarisation circulaire et sens de parcours

🔑 Notions clés & Définitions

• Polarisation circulaire : Lorsque l’extrémité du champ électrique décrit un cercle au cours du temps.

★ À maîtriser

📌 La polarisation d’une OPHPH est circulaire si les amplitudes vérifient E0x = E0y = E0 et si le déphasage vérifie $\Delta\varphi=\pm\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$.

• Pour déterminer le sens de polarisation, on repère d’abord la position du champ à t = 0, puis on observe sa position à un instant court t′ ou on étudie le signe de sa dérivée à t = 0.

Compléments

📌 Une polarisation est dite elliptique ou circulaire gauche si le champ se déplace dans le sens trigonométrique vu depuis z > 0, et droite s’il se déplace dans le sens horaire.

💡 Astuce mémo

Position initiale → évolution à un instant court → sens de rotation

📖 15. Lumière naturelle et dispositifs polarisants

🔑 Notions clés & Définitions

• Lumière non polarisée : Une superposition d’un grand nombre d’OPHPH dont les polarisations sont décorrélées et dont la direction globale du champ varie aléatoirement dans un plan d’onde.

★ À maîtriser

• Un polariseur rectiligne transmet la composante du champ électrique parallèle à sa direction passante et atténue sélectivement la composante selon l’axe perpendiculaire.

📐 Formule — La projection du champ électrique à la sortie d’un polariseur de direction passante $\vec u$ est $\vec E_{\mathrm{transmis}}=(\vec E\cdot\vec u)\vec u$.

📐 Formule — Pour une onde incidente polarisée rectilignement, l’éclairement transmis par un analyseur vérifie la loi de Malus $E=E_0\cos^2\alpha$, où α est l’angle entre la direction passante et la polarisation incidente.

Compléments

• La lumière thermique du Soleil possède un spectre continu, tandis qu’une lampe spectrale produit un spectre de raies ; ces lumières ne sont donc pas des OPHPH uniques.

📐 Formule — Une lame à retard introduit entre les deux composantes du champ un déphasage $\Delta\varphi=\frac{2\pi e\Delta n}{\lambda}$, dépendant de son épaisseur e, de la biréfringence Δn et de la longueur d’onde λ.

• Une lame à retard peut transformer une polarisation rectiligne en polarisation elliptique en introduisant un déphasage entre les composantes du champ électrique.

💡 Astuce mémo

Polarisation aléatoire → lumière non polarisée ; sélection ou déphasage → lumière polarisée

📊 Tableaux de synthèse

Types d’ondes

Équations locales et formes intégrales