QCM : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques — 46 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition différentielle une perturbation scalaire f(r⃗,t)f(\vec r,t) doit-elle satisfaire pour être une solution de l’équation de d’Alembert ?

1c2∂f∂t−Δ2f=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta^2 f=0
∂2f∂t2−c2Δ2f=0\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-c^2\Delta^2 f=0
1c2∂2f∂t2−Δf=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0
1c∂f∂t−Δf=0\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f=0

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0$$

Explication

L’équation de d’Alembert relie la dérivée temporelle seconde au laplacien spatial selon 1c2∂2f∂t2−Δf=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0. Les autres expressions modifient l’ordre des dérivées ou le facteur faisant intervenir la célérité.

2. Dans le cadre des ondes, comment définit-on une onde ?

Une déformation fixe dans l’espace sans évolution temporelle
Un champ vectoriel indépendant de toute équation différentielle
Une grandeur constante dans l’espace qui varie avec le temps
Une perturbation d’un état d’équilibre dépendant de l’espace et du temps

Une perturbation d’un état d’équilibre dépendant de l’espace et du temps

Explication

Une onde est une perturbation d’un état d’équilibre qui dépend à la fois de l’espace et du temps et qui satisfait une équation d’onde. Une grandeur constante ou dépourvue d’évolution temporelle ne correspond pas à cette définition.

3. Quelle forme générale décrit une solution unidimensionnelle de l’équation de d’Alembert ?

f(z,t)=g(z+ct)−h(z−ct)f(z,t)=g(z+ct)-h(z-ct)
f(z,t)=g(z−ct)+h(z+ct)f(z,t)=g(z-ct)+h(z+ct)
f(z,t)=g(z)h(t)f(z,t)=g(z)h(t)
f(z,t)=g(zt−c)+h(zt+c)f(z,t)=g(zt-c)+h(zt+c)

$$f(z,t)=g(z-ct)+h(z+ct)$$

Explication

La solution unidimensionnelle générale est la somme de deux fonctions, g(z−ct)g(z-ct) et h(z+ct)h(z+ct), représentant des propagations en sens opposés. Une forme produit ou un argument contenant ztzt ne correspond pas à cette solution générale.

4. Dans la solution f(z,t)=g(z−ct)+h(z+ct)f(z,t)=g(z-ct)+h(z+ct), comment se déplacent les deux termes ?

g(z−ct)g(z-ct) va vers les zz croissants et h(z+ct)h(z+ct) vers les zz décroissants
Les deux termes vont vers les zz croissants avec la vitesse cc
Les deux termes vont vers les zz décroissants avec la vitesse cc
g(z−ct)g(z-ct) va vers les zz décroissants et h(z+ct)h(z+ct) vers les zz croissants

$$g(z-ct)$$ va vers les $$z$$ croissants et $$h(z+ct)$$ vers les $$z$$ décroissants

Explication

L’argument z−ctz-ct décrit une propagation à la vitesse cc vers les zz croissants, tandis que z+ctz+ct décrit une propagation à la vitesse −c-c vers les zz décroissants. Les deux termes représentent donc des directions opposées.

5. Quelle expression représente une onde sphérique progressive comprenant une contribution divergente et une contribution convergente ?

f(r,t)=1rg(r−ct)+1rh(r+ct)f(r,t)=\frac{1}{r}g(r-ct)+\frac{1}{r}h(r+ct)
f(r,t)=rg(r−ct)+rh(r+ct)f(r,t)=rg(r-ct)+rh(r+ct)
f(r,t)=g(r−ct)+h(r+ct)f(r,t)=g(r-ct)+h(r+ct)
f(r,t)=1r2g(r+ct)−1r2h(r−ct)f(r,t)=\frac{1}{r^2}g(r+ct)-\frac{1}{r^2}h(r-ct)

$$f(r,t)=\frac{1}{r}g(r-ct)+\frac{1}{r}h(r+ct)$$

Explication

Une onde sphérique progressive comporte le facteur d’amplitude 1r\frac{1}{r} et s’écrit comme la somme des termes 1rg(r−ct)\frac{1}{r}g(r-ct) et 1rh(r+ct)\frac{1}{r}h(r+ct). Le premier est divergent et le second convergent ; les autres expressions ont un facteur radial ou des signes d’arguments inadaptés.

6. Quelle caractéristique distingue une onde stationnaire d’une onde progressive ?

Son amplitude reste constante et elle se déplace dans une direction fixe
Ses dépendances spatiale et temporelle sont découplées et elle ne se propage pas
Elle possède deux termes qui se déplacent dans le même sens à la vitesse cc
Elle est décrite par une seule fonction du temps sans dépendance spatiale

Ses dépendances spatiale et temporelle sont découplées et elle ne se propage pas

Explication

Dans une onde stationnaire, les dépendances spatiale et temporelle sont séparées, et la figure d’onde ne se propage pas. Une onde progressive, au contraire, transporte une perturbation dans une direction donnée.

7. Quelle expression représente une onde plane, homogène, progressive et harmonique de phase ϕ=k⃗⋅r⃗−ωt+ϕ0\phi=\vec k\cdot\vec r-\omega t+\phi_0 ?

f(r⃗,t)=Acos⁡(k⃗⋅r⃗−ωt+ϕ0)f(\vec r,t)=A\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t+\phi_0)
f(r⃗,t)=Acos⁡(r⃗−k⃗ωt+ϕ0)f(\vec r,t)=A\cos(\vec r-\vec k\omega t+\phi_0)
f(r⃗,t)=Aexp⁡(−kz)cos⁡(ωt)f(\vec r,t)=A\exp(-kz)\cos(\omega t)
f(r⃗,t)=Acos⁡(k⃗⋅r⃗+ωt+ϕ0)f(\vec r,t)=A\cos(\vec k\cdot\vec r+\omega t+\phi_0)

$$f(\vec r,t)=A\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t+\phi_0)$$

Explication

Une OPHPH possède une phase affine en l’espace et le temps et s’écrit comme un cosinus d’amplitude constante. L’expression avec un signe positif devant ωt\omega t ne correspond pas à la convention de phase donnée ici.

8. Une onde possède une longueur d’onde de 2 m2\ \mathrm{m} et une période temporelle de 0,5 s0{,}5\ \mathrm{s}. Quelles relations permettent de calculer son nombre d’onde et sa pulsation ?

k=2π0,5 rad m−1k=\frac{2\pi}{0{,}5}\ \mathrm{rad\,m^{-1}} et ω=2π2 rad s−1\omega=\frac{2\pi}{2}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}
k=2π2 rad m−1k=\frac{2\pi}{2}\ \mathrm{rad\,m^{-1}} et ω=2π0,5 rad s−1\omega=\frac{2\pi}{0{,}5}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}
k=2π×2 rad m−1k=2\pi\times2\ \mathrm{rad\,m^{-1}} et ω=0,5×2π rad s−1\omega=0{,}5\times2\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}
k=12 rad m−1k=\frac{1}{2}\ \mathrm{rad\,m^{-1}} et ω=10,5 rad s−1\omega=\frac{1}{0{,}5}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}

$$k=\frac{2\pi}{2}\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$$ et $$\omega=\frac{2\pi}{0{,}5}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$$

Explication

Le nombre d’onde est lié à la longueur d’onde par k=2πλk=\frac{2\pi}{\lambda}, tandis que la pulsation dépend de la période par ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T}. Intervertir λ\lambda et TT confond les dimensions spatiale et temporelle.

9. Après avoir effectué les calculs avec la représentation complexe d’une OPHPH, quelle opération permet d’obtenir l’onde physique ?

Prendre le module de l’expression complexe
Remplacer l’exponentielle complexe par une constante
Élever l’expression complexe à la puissance deux
Prendre la partie réelle de l’expression complexe

Prendre la partie réelle de l’expression complexe

Explication

La représentation complexe sert à simplifier les calculs, puis la grandeur physique est récupérée en prenant la partie réelle. Le module décrit l’amplitude complexe, mais ne restitue pas l’oscillation temporelle complète.

10. Que désigne la relation de dispersion obtenue à partir de l’équation de propagation ?

La vitesse de déplacement de l’enveloppe d’un paquet d’onde
La forme complexe complète de l’onde en fonction de la position
La décroissance spatiale de l’amplitude dans un milieu absorbant
L’équation algébrique reliant le nombre d’onde kk à la pulsation ω\omega

L’équation algébrique reliant le nombre d’onde $$k$$ à la pulsation $$\omega$$

Explication

La relation de dispersion est une équation algébrique de la forme k=k(ω)k=k(\omega) obtenue en cherchant une OPHPH solution. La forme complexe décrit l’onde elle-même et ne constitue pas la relation de dispersion.

11. Pour une onde satisfaisant l’équation de d’Alembert dans le vide, quelle relation entre sa longueur d’onde et sa fréquence permet de retrouver sa célérité ?

c=λ+fc=\lambda+f
c=fλc=\frac{f}{\lambda}
c=λfc=\lambda f
c=λfc=\frac{\lambda}{f}

$$c=\lambda f$$

Explication

La relation de dispersion de d’Alembert donne k=±ωck=\pm\frac{\omega}{c}, ce qui conduit à c=λfc=\lambda f. Le quotient λ/f\lambda/f possède une dimension différente et ne représente pas une célérité.

12. Pour une relation de dispersion complexe k=k′+ik′′k=k'+ik'', quelle partie détermine l’atténuation spatiale de l’onde ?

La vitesse de phase vφv_\varphi
La pulsation centrale ω0\omega_0
La partie imaginaire k′′k''
La partie réelle k′k'

La partie imaginaire $$k''$$

Explication

L’amplitude varie proportionnellement à e−k′′ze^{-k''z}, donc k′′k'' contrôle l’atténuation ou l’amplification. La partie réelle k′k' gouverne la phase et non l’enveloppe d’amplitude.

13. Une OPHPH a une pulsation ω\omega et un nombre d’onde réel effectif k′k'. Quelle grandeur décrit la vitesse de déplacement de sa surface d’onde ?

La vitesse de phase vφ=ωk′v_\varphi=\frac{\omega}{k'}
La célérité c=1ε0μ0c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}
Le taux d’atténuation e−k′′ze^{-k''z}
La vitesse de groupe vg=dωdkv_g=\frac{d\omega}{dk}

La vitesse de phase $$v_\varphi=\frac{\omega}{k'}$$

Explication

La vitesse de phase est la vitesse de déplacement d’une surface d’onde et vaut vφ=ωRe⁡(k)=ωk′v_\varphi=\frac{\omega}{\operatorname{Re}(k)}=\frac{\omega}{k'}. La vitesse de groupe concerne l’enveloppe d’un paquet d’onde, tandis que le facteur exponentiel décrit l’amplitude.

14. Quel rôle général jouent les équations locales de Maxwell ?

Elles relient la température du milieu à la vitesse des particules
Elles donnent principalement les propriétés mécaniques des milieux matériels
Elles déterminent uniquement la trajectoire des charges ponctuelles
Elles décrivent les champs électrique et magnétique, leurs sources et leur évolution

Elles décrivent les champs électrique et magnétique, leurs sources et leur évolution

Explication

Les équations de Maxwell décrivent les champs électrique et magnétique produits par les charges et les courants, ainsi que leur évolution. Elles ne constituent pas un modèle consacré aux trajectoires mécaniques ou à la température.

15. Quelle équation locale exprime l’absence de sources magnétiques ?

rot⁡B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}
rot⁡E⃗=−∂B⃗∂t\operatorname{rot}\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}
div⁡B⃗=0\operatorname{div}\vec B=0
div⁡E⃗=ρε0\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}

$$\operatorname{div}\vec B=0$$

Explication

L’équation div⁡B⃗=0\operatorname{div}\vec B=0, appelée Maxwell-Thomson, indique que le champ magnétique ne possède pas de sources magnétiques isolées. L’équation de Maxwell-Gauss relie quant à elle la divergence de E⃗\vec E à la densité de charge ρ\rho.

16. Quelle expression donne la célérité de la lumière dans le vide à partir des constantes électromagnétiques du vide ?

c=ε0μ0c=\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}
c=ε0μ0c=\varepsilon_0\mu_0
c=1ε0μ0c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}
c=ε0μ0c=\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$

Explication

Dans le vide, la célérité vérifie c=1ε0μ0c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} et vaut approximativement 3,00×108 m s−13{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}. Le produit ε0μ0\varepsilon_0\mu_0 intervient sous une racine inverse, et non comme un facteur direct.

17. Dans quelle condition le potentiel vecteur A⃗\vec A permet-il d’écrire le champ magnétique sous la forme B⃗=rot⁡A⃗\vec B=\operatorname{rot}\vec A ?

Lorsque la divergence du champ magnétique est nulle
Lorsque le champ électrique est indépendant du temps
Lorsque le rotationnel du champ magnétique est nul
Lorsque le potentiel scalaire est constant

Lorsque la divergence du champ magnétique est nulle

Explication

Le potentiel vecteur peut être introduit sous cette forme lorsque la divergence de B⃗\vec B est nulle. Le fait que le champ électrique soit indépendant du temps ne constitue pas la condition définissant cette représentation.

18. Quelle relation définit le champ électrique à partir du potentiel scalaire VV et du potentiel vecteur A⃗\vec A ?

E⃗=−div⁡V−∂A⃗∂t\vec E=-\operatorname{div}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}
E⃗=−grad⁡V−∂A⃗∂t\vec E=-\operatorname{grad}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}
E⃗=rot⁡V+∂A⃗∂t\vec E=\operatorname{rot}V+\frac{\partial\vec A}{\partial t}
E⃗=grad⁡V−rot⁡A⃗\vec E=\operatorname{grad}V-\operatorname{rot}\vec A

$$\vec E=-\operatorname{grad}V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$$

Explication

Le champ électrique dépend du gradient opposé du potentiel scalaire et de la variation temporelle opposée du potentiel vecteur. Le rotationnel intervient dans l’expression de B⃗\vec B, et non comme opérateur appliqué au potentiel scalaire.

19. Comment les champs électrique et magnétique se distinguent-ils dans leur expression à partir des potentiels ?

E⃗\vec E est le rotationnel de VV, tandis que B⃗\vec B est le gradient temporel de A⃗\vec A
E⃗\vec E et B⃗\vec B sont tous deux les gradients des potentiels correspondants
E⃗\vec E dépend de VV et de la variation temporelle de A⃗\vec A, tandis que B⃗\vec B est le rotationnel de A⃗\vec A
E⃗\vec E dépend de A⃗\vec A seul, tandis que B⃗\vec B dépend de VV et de A⃗\vec A

$$\vec E$$ dépend de $$V$$ et de la variation temporelle de $$\vec A$$, tandis que $$\vec B$$ est le rotationnel de $$\vec A$$

Explication

Le champ électrique combine le gradient de VV et la variation temporelle de A⃗\vec A, alors que le champ magnétique est obtenu par le rotationnel de A⃗\vec A. Il est donc incorrect de traiter les deux champs comme des gradients.

20. Que représente la densité volumique de charge ρ\rho à l’échelle mésoscopique ?

La charge électrique par unité de longueur
La charge totale contenue dans un conducteur
La charge électrique par unité de surface
La charge électrique par unité de volume

La charge électrique par unité de volume

Explication

La densité volumique ρ\rho décrit la quantité de charge rapportée à un volume dans une description mésoscopique. Une charge rapportée à une surface ou à une longueur correspond à d’autres densités.

21. Quelle expression donne la densité de courant électrique en fonction des porteurs de charge ?

j⃗=∑k=1Nv⃗kρk\vec j=\sum_{k=1}^{N}\frac{\vec v_k}{\rho_k}
j⃗=∑k=1Nρkgrad⁡v⃗k\vec j=\sum_{k=1}^{N}\rho_k\operatorname{grad}\vec v_k
j⃗=∑k=1Nρkrot⁡v⃗k\vec j=\sum_{k=1}^{N}\rho_k\operatorname{rot}\vec v_k
j⃗=∑k=1Nρkv⃗k\vec j=\sum_{k=1}^{N}\rho_k\vec v_k

$$\vec j=\sum_{k=1}^{N}\rho_k\vec v_k$$

Explication

La densité de courant est la somme des produits de la densité de charge de chaque type de porteur par sa vitesse. Les opérateurs différentiels et la division par la charge ne correspondent pas à cette définition.

22. Quelle équation exprime la conservation locale de la charge électrique ?

∂ρ∂t−rot⁡j⃗=0\frac{\partial\rho}{\partial t}-\operatorname{rot}\vec j=0
ρ+div⁡j⃗=∂ρ∂t\rho+\operatorname{div}\vec j=\frac{\partial\rho}{\partial t}
grad⁡ρ+∂j⃗∂t=0\operatorname{grad}\rho+\frac{\partial\vec j}{\partial t}=0
∂ρ∂t+div⁡j⃗=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\vec j=0

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\vec j=0$$

Explication

La conservation locale relie l’évolution temporelle de la densité de charge à la divergence de la densité de courant par une somme nulle. Le rotationnel ou le gradient ne décrivent pas cette relation de bilan local.

23. Quelle relation caractérise le théorème de Green-Ostrogradski pour un champ F⃗\vec F ?

∬Srot⁡F⃗⋅dS⃗=∮CF⃗⋅dℓ⃗\iint_S\operatorname{rot}\vec F\cdot d\vec S=\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell
∭Vdiv⁡F⃗ dV=∯SF⃗⋅dS⃗\iiint_V\operatorname{div}\vec F\,dV=\oiint_S\vec F\cdot d\vec S
∯SF⃗⋅dS⃗=∭Vrot⁡F⃗ dV\oiint_S\vec F\cdot d\vec S=\iiint_V\operatorname{rot}\vec F\,dV
∮CF⃗⋅dℓ⃗=∭Vgrad⁡F⃗ dV\oint_C\vec F\cdot d\vec\ell=\iiint_V\operatorname{grad}\vec F\,dV

$$\iiint_V\operatorname{div}\vec F\,dV=\oiint_S\vec F\cdot d\vec S$$

Explication

Green-Ostrogradski relie le flux à travers une surface fermée à l’intégrale de la divergence dans le volume qu’elle délimite. La relation faisant intervenir un contour et un rotationnel est celle de Green-Stokes.

24. Un champ présente une circulation sur un contour fermé bordant une surface ouverte. Quel théorème relie cette circulation au flux du rotationnel à travers la surface ?

Le théorème de Green-Stokes
La loi de Maxwell-Gauss
La loi de Maxwell-Thomson
Le théorème de Green-Ostrogradski

Le théorème de Green-Stokes

Explication

Green-Stokes relie la circulation sur un contour fermé au flux du rotationnel sur la surface ouverte qui possède ce contour pour bord. Green-Ostrogradski concerne plutôt le flux à travers une surface fermée et la divergence dans son volume intérieur.

25. Quelle relation donne le flux électrique à travers une surface fermée en fonction de la charge intérieure ?

∯SE⃗⋅dS⃗=μ0Qint\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\mu_0Q_{\mathrm{int}}
∯SB⃗⋅dS⃗=Qintε0\oiint_S\vec B\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}
∯SE⃗⋅dS⃗=Qintε0\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}
∮CE⃗⋅dℓ⃗=Qintε0\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}

$$\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$$

Explication

La loi intégrale de Maxwell-Gauss relie le flux de E⃗\vec E sur une surface fermée à la charge enfermée divisée par ε0\varepsilon_0. Une intégrale curviligne ou un flux magnétique ne correspond pas à cette loi.

26. Que signifie l’équation ∯SB⃗⋅dS⃗=0\oiint_S\vec B\cdot d\vec S=0 pour toute surface fermée ?

Elle signifie qu’aucun courant électrique ne traverse la surface
Elle indique que le champ magnétique est nul dans tout l’espace
Elle impose que le champ électrique ait un flux fermé nul
Elle traduit l’absence de monopôles magnétiques observés

Elle traduit l’absence de monopôles magnétiques observés

Explication

Le flux magnétique nul à travers toute surface fermée exprime l’absence de monopôles magnétiques observés. Cette relation n’impose pas que B⃗\vec B soit nul localement et ne concerne pas directement le flux électrique.

27. Quelle grandeur représente une énergie électromagnétique stockée localement par unité de volume ?

La puissance fournie aux charges, exprimée en joules par seconde
La densité volumique d’énergie électromagnétique, exprimée en joules par mètre cube
La densité de courant électrique, exprimée en ampères par mètre carré
Le vecteur de Poynting, exprimé en watts par mètre carré

La densité volumique d’énergie électromagnétique, exprimée en joules par mètre cube

Explication

La densité volumique d’énergie électromagnétique mesure l’énergie stockée dans une unité de volume et s’exprime en joules par mètre cube. Le vecteur de Poynting décrit plutôt un flux local de puissance, avec une unité en watts par mètre carré.

28. Quelle grandeur décrit le flux local de puissance électromagnétique traversant une surface ?

La densité volumique d’énergie, exprimée en joules par mètre cube
La charge électrique, exprimée en coulombs par mètre cube
Le vecteur de Poynting, exprimé en watts par mètre carré
La puissance mécanique, exprimée en newtons par mètre

Le vecteur de Poynting, exprimé en watts par mètre carré

Explication

Le vecteur de Poynting représente le flux local de puissance électromagnétique et s’exprime en watts par mètre carré. La densité volumique d’énergie caractérise un stock local d’énergie et non un flux.

29. Une particule chargée se déplace avec une vitesse v⃗\vec v dans un champ électrique E⃗\vec E et un champ magnétique. Quelle expression donne la puissance fournie par le champ à la particule ?

P=qv⃗⋅B⃗P=q\vec v\cdot\vec B
P=qv⃗⋅E⃗P=q\vec v\cdot\vec E
P=qE⃗⋅B⃗P=q\vec E\cdot\vec B
P=q∣v⃗∣∣B⃗∣P=q\lvert\vec v\rvert\lvert\vec B\rvert

$$P=q\vec v\cdot\vec E$$

Explication

La puissance vaut P=F⃗⋅v⃗=qv⃗⋅E⃗P=\vec F\cdot\vec v=q\vec v\cdot\vec E, car la force magnétique ne travaille pas. Le champ magnétique peut modifier la direction du mouvement sans fournir directement de puissance à la particule.

30. Dans le théorème de Poynting, quel terme représente l’échange d’énergie entre le champ électromagnétique et les charges ?

div⁡Π⃗\operatorname{div}\vec\Pi
−j⃗⋅E⃗-\vec j\cdot\vec E
∂uem∂t\frac{\partial u_{em}}{\partial t}
E⃗∧B⃗\vec E\wedge\vec B

$$-\vec j\cdot\vec E$$

Explication

Le terme −j⃗⋅E⃗-\vec j\cdot\vec E décrit l’échange d’énergie entre le champ et les charges dans ∂uem∂t+div⁡Π⃗=−j⃗⋅E⃗\frac{\partial u_{em}}{\partial t}+\operatorname{div}\vec\Pi=-\vec j\cdot\vec E. La divergence du vecteur de Poynting représente plutôt la variation spatiale du flux d’énergie.

31. Pourquoi une onde électromagnétique peut-elle se propager dans le vide sans charges ni courants ?

Parce que les variations temporelles des champs électrique et magnétique se servent mutuellement de sources
Parce que le champ électrique se propage sans interaction avec le champ magnétique
Parce que la présence d’un matériau fournit l’énergie nécessaire à l’onde
Parce que le vide contient des charges fixes qui entretiennent les champs

Parce que les variations temporelles des champs électrique et magnétique se servent mutuellement de sources

Explication

Dans le vide, les variations temporelles du champ électrique et du champ magnétique constituent des sources l’un pour l’autre, ce qui permet la propagation. L’absence de charges matérielles n’empêche donc pas une onde électromagnétique de se maintenir.

32. Quelle équation vérifie chaque composante des champs E⃗\vec E et B⃗\vec B dans le vide ?

1c2∂2f∂t2−Δf=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0
∂f∂t+c2Δf=0\frac{\partial f}{\partial t}+c^2\Delta f=0
1c∂f∂t−Δf=0\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f=0
1c2∂f∂t−Δ2f=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta^2 f=0

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0$$

Explication

Chaque composante de E⃗\vec E et B⃗\vec B vérifie l’équation de d’Alembert 1c2∂2f∂t2−Δf=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0. Les autres expressions ne contiennent pas la structure correcte de l’équation d’onde dans le vide.

33. Pour une OPHPH électromagnétique dans le vide, quelles sont les valeurs des vitesses de phase et de groupe ?

vφ=vg=cv_\varphi=v_g=c
vφ=c2v_\varphi=c^2 et vg=cv_g=c
vφ=0v_\varphi=0 et vg=cv_g=c
vφ=cv_\varphi=c et vg=0v_g=0

$$v_\varphi=v_g=c$$

Explication

Dans le vide, la relation de dispersion conduit à vφ=vg=cv_\varphi=v_g=c. L’égalité de ces deux vitesses distingue la propagation dans le vide d’un milieu dispersif, où elles peuvent différer.

34. Quelle propriété géométrique caractérise une OPHPH électromagnétique dans le vide ?

Le champ B⃗\vec B est parallèle à k⃗\vec k tandis que E⃗\vec E lui est perpendiculaire
Les champs E⃗\vec E et B⃗\vec B sont perpendiculaires à k⃗\vec k et entre eux
Les champs E⃗\vec E et B⃗\vec B sont parallèles à k⃗\vec k et entre eux
Le champ E⃗\vec E est parallèle à k⃗\vec k tandis que B⃗\vec B lui est perpendiculaire

Les champs $$\vec E$$ et $$\vec B$$ sont perpendiculaires à $$\vec k$$ et entre eux

Explication

Une OPHPH électromagnétique dans le vide est transverse : E⃗\vec E et B⃗\vec B sont tous deux perpendiculaires à k⃗\vec k et perpendiculaires entre eux. Une composante longitudinale des champs ne correspond donc pas à cette structure.

35. Que décrit la polarisation d’une onde électromagnétique ?

L’orientation du vecteur d’onde indiquant la direction de propagation
La distance parcourue par l’onde pendant une période temporelle
La variation temporelle de la norme du champ magnétique dans le vide
La trajectoire de l’extrémité du vecteur champ électrique dans une surface d’onde

La trajectoire de l’extrémité du vecteur champ électrique dans une surface d’onde

Explication

La polarisation est la trajectoire décrite par l’extrémité du vecteur champ électrique au cours du temps dans une surface d’onde. L’orientation du vecteur d’onde caractérise plutôt la direction de propagation.

36. Pour une OPHPH se propageant selon l’axe OzOz, quelles composantes du champ électrique sont indépendantes ?

ExE_x et EyE_y, tandis que Ez=0E_z=0
EyE_y et EzE_z, tandis que Ex=0E_x=0
Les trois composantes ExE_x, EyE_y et EzE_z
ExE_x et EzE_z, tandis que Ey=0E_y=0

$$E_x$$ et $$E_y$$, tandis que $$E_z=0$$

Explication

La propagation selon OzOz impose une onde transverse : les composantes longitudinales EzE_z et BzB_z sont nulles, tandis que ExE_x et EyE_y sont les deux composantes indépendantes du champ électrique. Les autres propositions attribuent à tort une composante longitudinale au champ électrique.

37. Comment reconnaît-on une OPHPH polarisée rectilignement en observant l’extrémité de son champ électrique au cours du temps ?

Elle se déplace sur une courbe sans point fixe
Elle décrit une droite passant par l’origine
Elle décrit une ellipse centrée sur l’origine
Elle décrit un cercle de rayon constant

Elle décrit une droite passant par l’origine

Explication

La polarisation rectiligne correspond à une trajectoire qui est une droite passant par l’origine. Une ellipse caractérise la polarisation elliptique, tandis qu’un cercle correspond à la polarisation circulaire.

38. Deux composantes non nulles du champ électrique peuvent-elles produire une polarisation rectiligne, et sous quelle condition ?

Non, car deux composantes imposent une trajectoire elliptique
Oui, si leur déphasage vaut 0 [π]0\ [\pi]
Non, car une composante doit être nulle
Oui, si leur déphasage vaut π2 [π]\frac{\pi}{2}\ [\pi]

Oui, si leur déphasage vaut $$0\ [\pi]$$

Explication

Avec deux composantes non nulles, la polarisation est rectiligne lorsque le déphasage vérifie Δφ=0 [π]\Delta\varphi=0\ [\pi]. Un déphasage de π2\frac{\pi}{2} conduit plutôt à une trajectoire elliptique, sauf dans le cas particulier des amplitudes égales pour obtenir un cercle.

39. Quelle relation décrit la trajectoire générale de l’extrémité du champ électrique lorsque les deux composantes sont présentes ?

Ex2E0x−Ey2E0y=cos⁡2(Δφ)\frac{E_x^2}{E_{0x}}-\frac{E_y^2}{E_{0y}}=\cos^2(\Delta\varphi)
Ex2+Ey2=E0xE0ysin⁡(Δφ)E_x^2+E_y^2=E_{0x}E_{0y}\sin(\Delta\varphi)
ExE0x+EyE0y=cos⁡(Δφ)\frac{E_x}{E_{0x}}+\frac{E_y}{E_{0y}}=\cos(\Delta\varphi)
Ex2E0x2+Ey2E0y2−2ExEyE0xE0ycos⁡(Δφ)=sin⁡2(Δφ)\frac{E_x^2}{E_{0x}^2}+\frac{E_y^2}{E_{0y}^2}-2\frac{E_xE_y}{E_{0x}E_{0y}}\cos(\Delta\varphi)=\sin^2(\Delta\varphi)

$$\frac{E_x^2}{E_{0x}^2}+\frac{E_y^2}{E_{0y}^2}-2\frac{E_xE_y}{E_{0x}E_{0y}}\cos(\Delta\varphi)=\sin^2(\Delta\varphi)$$

Explication

La relation complète des composantes du champ est une équation d’ellipse et contient les termes quadratiques, le terme croisé en cosinus et le second membre en sinus carré. Les autres relations ne correspondent pas à la trajectoire générale du champ électrique.

40. Dans quel cas l’extrémité du champ électrique décrit-elle un cercle au cours du temps ?

Lorsque les amplitudes sont égales et que le déphasage vaut 0 [π]0\ [\pi]
Lorsque les amplitudes sont différentes et que le déphasage vaut 0 [π]0\ [\pi]
Lorsque les amplitudes sont nulles et que le déphasage vaut π2 [2π]\frac{\pi}{2}\ [2\pi]
Lorsque les amplitudes sont égales et que le déphasage vaut ±π2 [2π]\pm\frac{\pi}{2}\ [2\pi]

Lorsque les amplitudes sont égales et que le déphasage vaut $$\pm\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$$

Explication

La polarisation circulaire exige simultanément E0x=E0yE_{0x}=E_{0y} et Δφ=±π2 [2π]\Delta\varphi=\pm\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. Un déphasage de π2\frac{\pi}{2} avec des amplitudes différentes produit une ellipse plutôt qu’un cercle.

41. Quelle observation permet de déterminer le sens de parcours de la polarisation ?

Comparer la position du champ à t=0t=0 avec celle observée à un instant court t′t'
Observer la valeur moyenne du champ sur une période entière
Comparer les fréquences des deux composantes du champ
Mesurer uniquement l’amplitude maximale de la composante selon x

Comparer la position du champ à $$t=0$$ avec celle observée à un instant court $$t'$$

Explication

Le sens se détermine en repérant la position initiale du champ puis son évolution à un instant court, ou en étudiant le signe de sa dérivée à t=0t=0. L’amplitude, la fréquence comparée et la moyenne temporelle ne donnent pas directement ce sens de parcours.

42. Comment distingue-t-on une polarisation gauche d’une polarisation droite lorsqu’on observe depuis z>0z>0 ?

Le sens trigonométrique correspond à gauche et le sens horaire à droite
Le mouvement vers y positif correspond à gauche et vers x positif à droite
Le mouvement vers x positif correspond à gauche et vers y positif à droite
Le sens horaire correspond à gauche et le sens trigonométrique à droite

Le sens trigonométrique correspond à gauche et le sens horaire à droite

Explication

Vue depuis z>0z>0, une rotation dans le sens trigonométrique est dite gauche, tandis qu’une rotation dans le sens horaire est dite droite. Les deux autres propositions associent des directions cartésiennes qui ne définissent pas cette distinction.

43. Qu’est-ce qui caractérise une lumière non polarisée ?

Une superposition d’OPHPH partageant toutes la même direction de polarisation
Une onde dont le champ électrique possède une amplitude nulle dans le plan d’onde
Une superposition d’OPHPH décorrélées dont la direction globale du champ varie aléatoirement
Une OPHPH unique dont le champ reste aligné avec une direction fixe

Une superposition d’OPHPH décorrélées dont la direction globale du champ varie aléatoirement

Explication

La lumière non polarisée résulte d’un grand nombre d’OPHPH dont les polarisations sont décorrélées et orientées aléatoirement. Une OPHPH individuelle possède au contraire une polarisation déterminée.

44. Quelle composante un polariseur rectiligne transmet-il préférentiellement ?

La composante du champ parallèle à son axe perpendiculaire
La composante du champ opposée à sa direction passante
La composante du champ indépendante de toute direction dans le plan
La composante du champ parallèle à sa direction passante

La composante du champ parallèle à sa direction passante

Explication

Un polariseur rectiligne transmet la projection du champ électrique sur sa direction passante et atténue la composante perpendiculaire. Il ne sélectionne donc pas une composante opposée ni une composante sans direction.

45. Une onde incidente est polarisée rectilignement et fait un angle α\alpha avec la direction passante d’un analyseur. Quelle expression donne l’éclairement transmis ?

E=E0sin⁡2αE=E_0\sin^2\alpha
E=E0cos⁡2αE=E_0\cos^2\alpha
E=E0cos⁡αE=E_0\cos\alpha
E=E0tan⁡2αE=E_0\tan^2\alpha

$$E=E_0\cos^2\alpha$$

Explication

La loi de Malus donne l’éclairement transmis sous la forme E=E0cos⁡2αE=E_0\cos^2\alpha, où α\alpha est l’angle entre les deux directions. La dépendance en sinus ou en cosinus simple ne correspond pas à cette loi.

46. Comment une lame à retard modifie-t-elle les deux composantes du champ électrique ?

Elle projette le champ selon E⃗transmis=(E⃗⋅u⃗)u⃗\vec E_{\mathrm{transmis}}=(\vec E\cdot\vec u)\vec u
Elle introduit un déphasage Δφ=2πeΔnλ\Delta\varphi=\frac{2\pi e\Delta n}{\lambda} entre elles
Elle annule la composante perpendiculaire selon Δφ=λ2πeΔn\Delta\varphi=\frac{\lambda}{2\pi e\Delta n}
Elle impose une amplitude transmise E=E0cos⁡2αE=E_0\cos^2\alpha entre elles

Elle introduit un déphasage $$\Delta\varphi=\frac{2\pi e\Delta n}{\lambda}$$ entre elles

Explication

Le déphasage introduit par une lame à retard vaut Δφ=2πeΔnλ\Delta\varphi=\frac{2\pi e\Delta n}{\lambda} et dépend de l’épaisseur, de la biréfringence et de la longueur d’onde. La loi de Malus et la projection vectorielle décrivent respectivement un analyseur et un polariseur, pas une lame à retard.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une onde en physique ?

Une onde est une perturbation dépendant de l'espace et du temps.

Quelle équation vérifie une perturbation scalaire selon d’Alembert ?

Elle vérifie 1c2∂2f∂t2−Δf=0\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-\Delta f=0.

Que représente la constante c dans l'équation de d’Alembert ?

La célérité de l'onde.

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