Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et factorisation
2. Résolution des équations quadratiques
3. Somme et produit des solutions
4. Signe et inéquations quadratiques
5. Équations bicarrées
6. Équations irrationnelles

📖 1. Discriminant et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre réel $\Delta=b^2-4ac$ associé à un polynôme du second degré P(x)=ax²+bx+c, avec a≠0.

★ À maîtriser

📌 Si Δ>0, P possède deux zéros distincts x₁ et x₂, avec $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et P(x)=a(x−x₁)(x−x₂).

📌 Si Δ=0, P possède un zéro double $x_0=\frac{-b}{2a}$ et P(x)=a(x−x₀)².

Compléments

📌 Si Δ<0, P ne possède aucun zéro réel et n’est pas factorisable dans les réels.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → compter les zéros → factoriser

📖 2. Résolution des équations quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation réelle de la forme ax²+bx+c=0, où a, b et c sont réels et a≠0.

★ À maîtriser

• Pour résoudre ax²+bx+c=0 algébriquement, on calcule Δ puis on détermine les zéros selon le signe de Δ.

Compléments

📌 Si a et c sont de signes contraires dans ax²+bx+c=0, alors le discriminant est positif et l’équation possède deux solutions distinctes.

• Graphiquement, résoudre f(x)=0 revient à repérer les abscisses des points où la courbe de f coupe ou touche l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux solutions ; Δ=0 : une solution ; Δ<0 : aucune

📖 3. Somme et produit des solutions

★ À maîtriser

📐 Formule — Si ax²+bx+c=0 possède deux solutions x₁ et x₂, distinctes ou non, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Si deux nombres réels S et P vérifient S²−4P≥0, alors ils existent deux nombres réels de somme S et de produit P, qui sont les solutions de x²−Sx+P=0.

Compléments

• Pour déterminer deux nombres réels connaissant leur somme S et leur produit P, on vérifie S²−4P≥0, on résout x²−Sx+P=0, puis on retient ses solutions.

💡 Astuce mémo

S²−4P≥0 → l’équation x²−Sx+P=0 possède deux solutions réelles

📖 4. Signe et inéquations quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Inéquation réelle de la forme P(x)>0, P(x)≥0, P(x)<0 ou P(x)≤0, où P(x)=ax²+bx+c et a≠0.

★ À maîtriser

📌 Lorsque Δ>0 et x₁<x₂, le signe de P est celui de a sur ]−∞;x₁[ et ]x₂;+∞[, et il est opposé à celui de a sur ]x₁;x₂[.

• Résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe de P, puis à retenir les intervalles où le signe demandé est vérifié.

Compléments

📌 Lorsque Δ=0, P a le signe de a sur les deux intervalles extérieurs et s’annule uniquement en son zéro double.

📌 Lorsque Δ<0, P ne s’annule jamais et conserve partout le signe de a.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le signe est celui de a ; entre elles, il est opposé

📖 5. Équations bicarrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation bicarrée : Équation réelle de la forme ax⁴+bx²+c=0, où a, b et c sont réels et a≠0.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation bicarrée, on pose X=x², on résout aX²+bX+c=0, puis on résout les équations x²=X correspondant aux valeurs admissibles de X.

💡 Astuce mémo

X=x² → équation en X → retour à x

📖 6. Équations irrationnelles

★ À maîtriser

• Pour résoudre √P(x)=Q(x), il faut résoudre simultanément Q(x)≥0 et P(x)=(Q(x))².

• Pour résoudre √P(x)<Q(x), il faut vérifier simultanément P(x)≥0, Q(x)≥0 et P(x)<(Q(x))².

• Pour résoudre √P(x)≥Q(x), on résout soit P(x)≥0, Q(x)≥0 et P(x)≥(Q(x))², soit P(x)≥0 et Q(x)≤0.

Compléments

• La résolution d’une équation ou d’une inéquation irrationnelle se fait en traduisant l’expression sous forme de système, en résolvant chaque condition, puis en intersectant les ensembles obtenus.

💡 Astuce mémo

Domaine → élévation au carré → intersection des solutions

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant