QCM : Équations du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le discriminant d’un polynôme du second degré, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La forme factorisée se déduit avant le calcul du discriminant.
Le discriminant est une expression dépendant des coefficients aa, bb et cc.
La condition a≠0a\neq0 est requise pour définir le polynôme du second degré.
Le discriminant est calculé par Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac.
Le discriminant est calculé par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

Le discriminant est une expression dépendant des coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$. · La condition $$a\neq0$$ est requise pour définir le polynôme du second degré. · Le discriminant est calculé par $$\Delta=b^2-4ac$$.

Explication

Le discriminant est défini par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac pour un polynôme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\neq0. La forme factorisée dépend ensuite du signe de Δ\Delta, et non de la seule formule du discriminant.

2. Qu'est-ce que le discriminant d'un polynôme du second degré ?

C'est le nombre réel Δ=b2\Delta = b^2 - 4ac$ associé à un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$, permettant de déterminer le nombre et la nature de ses zéros.
C'est le produit des racines d'un polynôme du second degré.
C'est la somme des racines d'un polynôme du second degré.
C'est le coefficient principal d'un polynôme du second degré.

C'est le nombre réel $$\\Delta = b^2$$ - 4ac$ associé à un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$, permettant de déterminer le nombre et la nature de ses zéros.

Explication

Le discriminant Δ=b2\Delta = b^2 - 4ac$ permet de connaître le nombre de solutions réelles d'un polynôme du second degré. Si \\Delta > 0$, il y a deux solutions distinctes, si Δ=\Delta = 0$, une solution double, et si \\Delta < 0$, aucune solution réelle.

3. Un polynôme P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c vérifie Δ>0\Delta>0. Quelles sont les réponses exactes au sujet de sa factorisation ?

Le polynôme possède un unique zéro réel double.
Le polynôme possède deux zéros réels distincts.
Le polynôme s’écrit P(x)=a(x−x0)2P(x)=a(x-x_0)^2 avec x0=−b2ax_0=\frac{-b}{2a}.
Le polynôme s’écrit P(x)=a(x−x1)(x−x2)P(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Les deux zéros sont −b−Δ2a\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et −b+Δ2a\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Le polynôme possède deux zéros réels distincts. · Le polynôme s’écrit $$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. · Les deux zéros sont $$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$.

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, le polynôme possède deux zéros réels distincts et se factorise avec deux facteurs linéaires correspondants. Les expressions des racines comportent respectivement les signes moins et plus devant Δ\sqrt{\Delta}.

4. Quel est le nom de la formule utilisée pour calculer le discriminant d'un polynôme du second degré ?

Produit des solutions
Somme des solutions
Discriminant
Factorisation

Discriminant

Explication

Le discriminant d'un polynôme du second degré est donné par la formule Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. La factorisation, la somme ou le produit des solutions sont des concepts liés mais distincts.

5. Parmi les propositions suivantes concernant les équations du second degré, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Les coefficients aa, bb et cc sont des nombres réels.
Une équation du second degré admet nécessairement un terme dominant linéaire.
Une équation du second degré se caractérise par un coefficient aa nul.
Le coefficient aa doit être non nul.
Une équation du second degré s’écrit ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.

Les coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont des nombres réels. · Le coefficient $$a$$ doit être non nul. · Une équation du second degré s’écrit $$ax^2+bx+c=0$$.

Explication

Une équation du second degré possède la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, avec des coefficients réels et a≠0a\neq0. La condition sur aa la distingue d’une équation du premier degré, dont le terme en x2x^2 est absent.

6. Quelle est la fonction principale de la formule x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} dans l'étude des solutions d'une équation quadratique ?

Elle donne la différence entre les deux solutions.
Elle sert à déterminer le discriminant de l'équation.
Elle permet de calculer la somme des racines de l'équation.
Elle permet de vérifier si l'équation a des solutions réelles.

Elle permet de calculer la somme des racines de l'équation.

Explication

La formule x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} sert à calculer la somme des solutions d'une équation quadratique. La différence entre solutions est donnée par une autre formule, et cette formule ne concerne pas directement le discriminant ou la vérification de solutions réelles.

7. Pour résoudre algébriquement ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, quelles sont les propositions exactes ?

La résolution commence par l’identification du sommet de la parabole.
La méthode algébrique repose sur les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses.
Le signe du discriminant guide la détermination des zéros.
Le discriminant est calculé avant la détermination des solutions.
Le nombre de solutions réelles est déduit du signe du discriminant.

Le signe du discriminant guide la détermination des zéros. · Le discriminant est calculé avant la détermination des solutions. · Le nombre de solutions réelles est déduit du signe du discriminant.

Explication

La résolution algébrique commence par le calcul du discriminant, puis utilise son signe pour déterminer les solutions. La résolution graphique repose plutôt sur les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses.

8. Quand a été établi le lien entre le discriminant et le nombre de solutions réelles d'une équation quadratique ?

Au début du XXe siècle, avec l'avènement de l'algèbre abstraite.
Au XVIIIe siècle, lors de l'étude des polynômes par Euler.
Au XVIIe siècle, lors des travaux de Descartes sur la géométrie.
Au début du XIXe siècle, avec le développement de l'algèbre moderne.

Au début du XIXe siècle, avec le développement de l'algèbre moderne.

Explication

Le lien entre le discriminant et le nombre de solutions réelles a été formalisé au XIXe siècle avec le développement de l'algèbre moderne. La compréhension de cette relation a permis de mieux analyser la nature des racines des équations quadratiques.

9. En quoi la résolution d'une équation bicarrée diffère-t-elle de celle d'une équation quadratique standard ?

La résolution d'une équation bicarrée implique une substitution en X=x², tandis que celle d'une équation quadratique ne nécessite pas cette étape.
Les équations bicarrées ne peuvent pas être résolues par la formule du discriminant, contrairement aux équations quadratiques.
La résolution d'une équation bicarrée se fait uniquement par factorisation, alors que celle d'une équation quadratique peut utiliser la formule du discriminant.
Les équations bicarrées ont toujours deux solutions réelles, alors que les équations quadratiques peuvent en avoir zéro, une ou deux.

La résolution d'une équation bicarrée implique une substitution en X=x², tandis que celle d'une équation quadratique ne nécessite pas cette étape.

Explication

La résolution d'une équation bicarrée consiste à poser X=x² pour transformer l'équation en une quadratique en X, ce qui n'est pas nécessaire pour une équation quadratique classique. La méthode de résolution diffère donc principalement par cette substitution.

10. Qui est crédité de la formulation du discriminant associé à un polynôme du second degré ?

Isaac Newton
Carl Friedrich Gauss
Pierre-Simon Laplace
Joseph-Louis Lagrange

Carl Friedrich Gauss

Explication

Le discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac est attribué à Carl Friedrich Gauss, qui a étudié ses propriétés pour analyser le nombre de solutions réelles d'une équation quadratique. Newton n'a pas formulé cette notion, bien qu'il ait travaillé sur des méthodes de résolution.

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Qu'est-ce que le discriminant d'un polynôme du second degré ?

C'est le nombre réel Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

Discriminant, définition

Δ=b²−4ac, associé à un polynôme du second degré

Que se passe-t-il si Δ>0\Delta>0 pour un polynôme du second degré ?

Il possède deux zéros réels distincts et est factorisable en a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2).

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