Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et racines
2. Discriminant et solutions
3. Formes et factorisation
4. Signe du trinôme
5. Exemple de lecture graphique

📖 1. Trinôme et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2+bx+c$, avec laquelle l’équation associée s’écrit $ax^2+bx+c=0$.
• Racine : Solution de l’équation obtenue en égalant ce trinôme à zéro.

📝 Points essentiels

• Le trinôme $x^2+x-2$ a pour racines 1 et -2, car il s’annule pour chacune de ces valeurs.

📖 2. Discriminant et solutions

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation a une unique solution, $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les deux solutions distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📖 3. Formes et factorisation

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta=0$ et si la racine unique est $x_0$, le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_0)^2$.

📌 Si $\Delta>0$ et si les racines sont $x_1$ et $x_2$, le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📌 La forme développée d’un trinôme est $ax^2+bx+c$, tandis que sa forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne se factorise pas en facteurs du premier degré dans les nombres réels.

📖 4. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel : il est toujours positif si $a>0$ et toujours négatif si $a<0$.

• Si $\Delta=0$, le trinôme garde le signe de $a$ de part et d’autre de $x_0=-\frac{b}{2a}$ et vaut zéro en $x_0$.

• Si $\Delta>0$ et si $x_1<x_2$ sont les deux racines, le trinôme a le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Compléments

• Pour déterminer le signe du trinôme, il faut considérer à la fois le signe de $\Delta$ et celui de $a$.

💡 Astuce mémo

À positif : sourire vers le haut ; à négatif : parabole vers le bas.

📖 5. Exemple de lecture graphique

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=x^2+x-2$, les racines sont -2 et 1 et $a=1>0$, donc la parabole est tournée vers le haut et le trinôme est positif à l’extérieur des racines, nul aux racines et négatif entre elles.