Fiche de révision : Équations du second degré dans C

📋 Plan du Cours

1. Mise sous forme canonique
2. Racines et relations de Viète
3. Cas particuliers et applications

📖 1. Mise sous forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant de $az^2+bz+c=0$ est le nombre complexe $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation du second degré dans ℂ s’écrit $az^2+bz+c=0$ avec $a\in\mathbb{C}^*$, $b\in\mathbb{C}$ et $c\in\mathbb{C}$.

• La mise sous forme canonique transforme l’équation en $\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré, puis faire apparaître le discriminant

📖 2. Racines et relations de Viète

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$, alors $\delta^2=\Delta$ et les deux solutions sont $z'=\frac{-b+\delta}{2a}$ et $z''=\frac{-b-\delta}{2a}$.

📐 Formule — Les deux solutions vérifient $z'+z''=-\frac{b}{a}$.

💡 Astuce mémo

Le signe de δ distingue les deux racines : +δ et −δ

📖 3. Cas particuliers et applications

★ À maîtriser

📌 Si $a+b+c=0$, alors l’une des racines vaut $1$ et l’autre vaut $\frac{c}{a}$.

Compléments

• Les applications demandent de résoudre dans ℂ les équations $z^2+z+1=0$, $z^2-(1+i)z+i=0$, $z^2+(1+e^{i\theta})z+e^{i\theta}=0$ et $z^2+i\sqrt{3}z+i^\circ=0$.

📊 Tableaux de synthèse

Relations entre les racines