Fiche de révision : Ensembles et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Notion et représentation des ensembles
2. Ensembles usuels de nombres
3. Appartenance et inclusion
4. Opérations entre ensembles
5. Complémentaire et différence
6. Propriétés et lois des ensembles
7. Intervalles et inégalités
8. Cardinal et applications

📖 1. Notion et représentation des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d'objets appelés éléments, généralement notée par une lettre majuscule.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble peut être défini par extension en listant ses éléments ou par compréhension en indiquant une propriété commune.

Compléments

📌 Dans un ensemble, l'ordre des éléments n'a aucune importance et un même élément ne s'écrit normalement qu'une seule fois.

💡 Astuce mémo

Extension = liste ; compréhension = propriété

📖 2. Ensembles usuels de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb Z$, $b\in\mathbb Z$ et $b\neq0$.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

Compléments

📌 Les nombres $\sqrt2$ et $\pi$ appartiennent à $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ : ils sont réels mais irrationnels.

💡 Astuce mémo

ℕ → ℤ → ℚ → ℝ

📖 3. Appartenance et inclusion

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément et se note $\varnothing$.
• Sous-ensemble : Ensemble A dont tous les éléments appartiennent également à B.

📝 Points essentiels

📌 L'appartenance $x\in A$ compare un élément à un ensemble, tandis que l'inclusion $A\subset B$ compare un ensemble à un autre ensemble.

💡 Astuce mémo

∈ compare un élément à un ensemble ; ⊂ compare deux ensembles

📖 4. Opérations entre ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments communs à A et B.
• Réunion : Contient les éléments appartenant à A ou à B, y compris ceux appartenant aux deux.
• Ensembles disjoints : Deux ensembles sont disjoints lorsqu'ils n'ont aucun élément commun, ce qui s'écrit $A\cap B=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Intersection = ET ; réunion = OU

📖 5. Complémentaire et différence

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire : Ensemble des éléments de F qui ne sont pas dans E, noté $F\setminus E$ ou parfois $\overline E$.

★ À maîtriser

📌 La différence $A\setminus B$ contient les éléments de A qui ne sont pas dans B, tandis que $B\setminus A$ contient les éléments de B qui ne sont pas dans A.

Compléments

📐 Formule — La différence d'ensembles vérifie $A\setminus B=A\cap\overline B$.

💡 Astuce mémo

Référence fixée → complémentaire déterminé

📖 6. Propriétés et lois des ensembles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois de De Morgan sont $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$ et $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$.

Compléments

📐 Formule — Les opérations d'intersection et de réunion sont commutatives : $A\cap B=B\cap A$ et $A\cup B=B\cup A$.

📐 Formule — Avec l'ensemble vide, $A\cap\varnothing=\varnothing$ et $A\cup\varnothing=A$.

💡 Astuce mémo

De Morgan : complément de ET = OU des compléments

📖 7. Intervalles et inégalités

★ À maîtriser

📌 Les intervalles $[a;b]$, $]a;b[$, $[a;b[$ et $]a;b]$ correspondent respectivement à $a\leq x\leq b$, $a<x<b$, $a\leq x<b$ et $a<x\leq b$.

📌 L'infini n'est jamais inclus dans un intervalle, ainsi $]-\infty;5]$ représente $x\leq5$ et $[2;+\infty[$ représente $x\geq2$.

• Pour traduire une condition composée en intervalle, on utilise une intersection pour « et » et une réunion pour « ou ».

Compléments

• On a $\mathbb R^+=[0;+\infty[$, $\mathbb R^-=]-\infty;0]$, $\mathbb R_+^*=]0;+\infty[$ et $\mathbb R_-^*=]-\infty;0[$.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 8. Cardinal et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Nombre d'éléments d'un ensemble et se note $|A|$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux ensembles finis, la formule du cardinal de la réunion est $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Compléments

• Si $|A|=20$, $|B|=15$ et $|A\cap B|=5$, alors $|A\cup B|=30$.

• Dans un problème, « les élèves qui aiment les deux matières » correspond à $A\cap B$, « au moins une » à $A\cup B$, « les maths mais pas la physique » à $A\setminus B$ et « aucune des deux » à $\overline{A\cup B}$.

💡 Astuce mémo

Intersection comptée deux fois → on la soustrait

📊 Tableaux de synthèse

Symboles fondamentaux des ensembles