Flashcards : Équations et factorisation des polynômes (43 cartes)

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1Question

Comment se lit le quantificateur $\forall$ ?

Réponse

« Pour tout » ou « quel que soit ».

2Question

Comment se lit le quantificateur $\exists$ ?

Réponse

« Il existe ».

3Question

Comment se lit le symbole $/$ en écriture mathématique ?

Réponse

« Tel que ».

4Question

Qu’est-ce qu’une assertion mathématique ?

Réponse

Un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité.

5Question

De quoi peut dépendre la valeur de vérité d’une assertion à variable ?

Réponse

De la valeur attribuée à cette variable.

6Question

De quelle variable une équation ou une inéquation dépend-elle ?

Réponse

De $x$ .

7Question

Quand A implique-t-elle B, selon la définition de l’implication ?

Réponse

Lorsqu'A et B sont toutes deux vraies, ou lorsqu'A est fausse.

8Question

Quand A et B sont-elles équivalentes, et comment note-t-on cette relation ?

Réponse

Lorsque $A \Rightarrow B$ et $B \Rightarrow A$ ; cela se note $A \Leftrightarrow B$ .

9Question

Quelle inégalité obtient-on en ajoutant le même réel aux deux membres ?

Réponse

Le sens de l’inégalité est conservé.

10Question

Quelle condition sur $c$ permet de multiplier $a \le b$ sans en changer le sens ?

Réponse

$c \ge 0$

11Question

Quels réels appartiennent à l’intervalle $[a;b]$ ?

Réponse

Les réels $x$ tels que $a \le x \le b$ .

12Question

Quelle forme générale définit un polynôme en x ?

Réponse

$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ , avec des coefficients réels et un entier naturel $n$ .

13Question

Qu’est-ce que factoriser un polynôme $P(x)$ ?

Réponse

Trouver deux polynômes $Q(x)$ et $S(x)$ tels que $P(x)=Q(x)\times S(x)$ pour tout réel $x$ .

14Question

Quelles sont les trois identités remarquables de degré deux ?

Réponse

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad (a-b)(a+b)=a^2-b^2.$

15Question

Comment factoriser la somme et la différence de deux cubes ?

Réponse

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$

16Question

Comment tester si $x-\alpha$ divise $P(x)$ ?

Réponse

On vérifie si $P(\alpha)=0$ .

17Question

Comment s’écrit la division euclidienne de $P$ par $D$ ?

Réponse

$P=DQ+R$ .

18Question

Comment procède-t-on pour effectuer une division euclidienne de polynômes ?

Réponse

On soustrait successivement au dividende le produit du diviseur par le terme choisi du quotient, jusqu’à obtenir un reste.

19Question

Que signifie le symbole $\wedge$ en écriture mathématique ?

Réponse

« Et ».

20Question

Comment lire $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ ?

Réponse

Pour tout réel $x$ , $x^2$ est positif ou nul.

21Question

Comment lire $\exists x \in \mathbb{R} / x^2 < 2$ ?

Réponse

Il existe un réel $x$ tel que $x^2$ est strictement inférieur à 2.

22Question

Quelle est la valeur de vérité de P₁(1), pour P₁(x) : x² + x − 2 = 0 ?

Réponse

P₁(1) est vraie.

23Question

Comment note-t-on le contraire d’une assertion A ?

Réponse

$\overline{A}$ .

24Question

Comment distingue-t-on la réciproque de la contraposée de A ⇒ B ?

Réponse

La réciproque est B ⇒ A ; la contraposée est $\overline{B}$ ⇒ $\overline{A}$ .

25Question

Quelle inégalité découle de $a \le b$ et $c \le d$ ?

Réponse

$a+c \le b+d$

26Question

Quelle inégalité caractérise les réels de l’intervalle $[a;b[$ ?

Réponse

$a \le x < b$

27Question

Pourquoi $\mathbb{R}^*$ n’est-il pas un intervalle ?

Réponse

Il est la réunion de deux intervalles disjoints, $]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[$ .

28Question

Quel intervalle représente $\mathbb{R}_+^*$ ?

Réponse

$]0;+\infty[$

29Question

Quel intervalle représente $\mathbb{R}_-$ ?

Réponse

$]-\infty;0]$

30Question

Pourquoi $3+4x^{-7}+x^3$ n’est-il pas un polynôme ?

Réponse

Il contient une puissance négative de $x$ .

31Question

Pourquoi $x-\sqrt{x}+x^7$ n’est-il pas un polynôme ?

Réponse

Il contient $\sqrt{x}$ , soit une puissance non entière de $x$ .

32Question

Quelle est la factorisation de $x^2+x-2$ ?

Réponse

$(x-1)(x+2)$ .

33Question

Quelle est la factorisation de $2x-6$ ?

Réponse

$2(x-3)$ .

34Question

Quels sont les deux facteurs polynomiaux de $2x-6$ ?

Réponse

$2$ et $x-3$ .

35Question

Quelles sont les identités remarquables de degré trois ?

Réponse

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\quad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$

36Question

Quelle est la factorisation de $x^3-8$ ?

Réponse

$(x-2)(x^2+2x+4).$

37Question

Quelle valeur obtient-on pour $P(1)$ si $P(x)=x^4+4x^3-x+1$ ?

Réponse

$P(1)=5.$

38Question

Que conclut-on de $P(1)=5$ pour $x-1$ et $P(x)=x^4+4x^3-x+1$ ?

Réponse

$x-1$ ne divise pas $P(x)$ .

39Question

Quel quotient obtient-on en divisant $x^3-8$ par $x-2$ ?

Réponse

$x^2+2x+4$ .

40Question

Quel reste obtient-on en divisant $x^3-8$ par $x-2$ ?

Réponse

$0$ .

41Question

Quelle est la première factorisation obtenue pour $P(x)=x^3+4x^2+x-6$ ?

Réponse

$P(x)=(x-1)(x^2+5x+6)$ .

42Question

Comment factorise-t-on $x^2+5x+6$ dans la factorisation de $P(x)$ ?

Réponse

$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ .

43Question

Quelle est la factorisation complète de $P(x)=x^3+4x^2+x-6$ ?

Réponse

$P(x)=(x-1)(x+2)(x+3)$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 16 questions sur Équations et factorisation des polynômes.

1. Dans l’écriture $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ , comment se lit le symbole $\forall$ ?

2. Dans une traduction en français d’une expression contenant $\exists x \in \mathbb{R} / P(x)$ , quelle expression rend correctement le rôle de / ?

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