Fiche de révision : Équations et factorisation des polynômes

📋 Plan du Cours

1. Quantificateurs et écriture mathématique
2. Assertions et raisonnement logique
3. Inégalités et intervalles réels
4. Polynômes et factorisation
5. Identités remarquables et racines
6. Division euclidienne des polynômes

📖 1. Quantificateurs et écriture mathématique

★ À maîtriser

• Le quantificateur ∀ se lit « pour tout » ou « quel que soit », ∃ se lit « il existe » et le symbole / se lit « tel que ».

Compléments

📌 Le symbole / signifie « tel que », tandis que ∧ se lit « et ».

• L’assertion ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ 0 se lit « Pour tout réel x, x² est positif ou nul ».

• L’assertion ∃ x ∈ ℝ / x² < 2 se lit « Il existe un réel x tel que x² est strictement inférieur à 2 ».

💡 Astuce mémo

∀ affirme pour tous les éléments ; ∃ en exige au moins un.

📖 2. Assertions et raisonnement logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité.
• Implication : A et B sont toutes deux vraies ou A est fausse.
• Équivalence : A et B sont équivalentes, ce qui se note A ⇔ B, lorsque A ⇒ B et B ⇒ A.
• Contraire : Noté A̅.

★ À maîtriser

• Une assertion peut dépendre d’une variable, et sa valeur de vérité peut changer selon la valeur attribuée à cette variable.

• Une équation ou une inéquation est une assertion qui dépend de x.

Compléments

• Pour P₁(x) : x² + x − 2 = 0, P₁(1) est vraie et P₁(4) est fausse, car 4² + 4 − 2 = 18.

📌 La réciproque de A ⇒ B est B ⇒ A, tandis que sa contraposée est B̅ ⇒ A̅.

📖 3. Inégalités et intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.

★ À maîtriser

📌 Ajouter un même réel c aux deux membres d’une inégalité conserve son sens : si a ≤ b, alors c + a ≤ c + b.

📌 Multiplier une inégalité a ≤ b par c conserve son sens si c ≥ 0.

Compléments

📌 Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d.

• Les intervalles [a;b[, ]a;b[ et [a;+∞[ représentent respectivement les réels vérifiant a ≤ x < b, a < x < b et a ≤ x.

• ℝ* = ℝ \ {0} = ]−∞;0[ ∪ ]0;+∞[ et ℝ* n’est pas un intervalle.

• ℝ₊* = ]0;+∞[, ℝ₊ = [0;+∞[, ℝ₋* = ]−∞;0[ et ℝ₋ = ]−∞;0].

📖 4. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Expression de la forme a₀ + a₁x + a₂x² + ⋯ + aₙxⁿ, où les coefficients a₀,…,aₙ sont réels et n est un entier naturel.
• Factorisation : Trouver deux polynômes Q(x) et S(x) tels que, pour tout réel x, P(x) = Q(x) × S(x).

📝 Points essentiels

• 2 − 3x + 4x⁴ et 3x² + 8x³ + √2x¹⁴ sont des polynômes, tandis que 3 + 4x⁻⁷ + x³ et x − √x + x⁷ n’en sont pas.

• Le polynôme x² + x − 2 se factorise en (x − 1)(x + 2).

• 2x − 6 se factorise en 2(x − 3), avec deux facteurs polynomiaux 2 et x − 3.

📖 5. Identités remarquables et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad (a-b)(a+b)=a^2-b^2.$

📐 Formule - Les sommes et différences de cubes se factorisent selon $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$

• Pour tester si x − α divise P(x), on évalue P(α) : P(α)=0 si et seulement si P(x) est factorisable par x − α.

Compléments

📐 Formule - Les identités remarquables de degré trois sont $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\quad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$

• Comme x³ − 8 = x³ − 2³, sa factorisation est (x − 2)(x² + 2x + 4).

• Pour P(x)=x⁴+4x³−x+1, P(1)=5 ≠ 0, donc x − 1 ne divise pas P(x).

📖 6. Division euclidienne des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne d’un polynôme P par un polynôme D s’écrit P = DQ + R, où Q est le quotient et R le reste.

★ À maîtriser

• Pour effectuer une division euclidienne de polynômes, on soustrait successivement au dividende le produit du diviseur par le terme choisi du quotient, jusqu’à obtenir un reste.

Compléments

• La division de x³ − 8 par x − 2 donne le quotient x² + 2x + 4 et le reste 0, donc x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).

• Pour factoriser successivement P(x)=x³+4x²+x−6, on obtient P(x)=(x−1)(x²+5x+6), puis x²+5x+6=(x+2)(x+3), d’où P(x)=(x−1)(x+2)(x+3).

💡 Astuce mémo

Diviser, soustraire le produit, recommencer jusqu’au reste.