Fiche de révision : Équations et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier degré
2. Inéquations du premier degré
3. Discriminant et racines du trinôme
4. Factorisation des trinômes
5. Signe des polynômes factorisés
6. Équations et inéquations rationnelles

📖 1. Équations du premier degré

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on regroupe les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre, puis on isole x lorsque son coefficient est non nul.

📌 Après réduction d’une équation à une égalité entre constantes, une égalité fausse comme 0 = 3 donne l’ensemble vide, tandis qu’une égalité vraie comme 0 = 0 donne ℝ.

Compléments

📌 Pour l’équation mx − 2 = x + m, l’ensemble des solutions est {(2 + m)/(m − 1)} si m ≠ 1 et ∅ si m = 1.

📖 2. Inéquations du premier degré

★ À maîtriser

📌 Dans une inéquation, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

• L’inéquation 3x − 4 ≥ 7x + 1 a pour ensemble de solutions ]−∞ ; −5/4].

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve le sens ; par un négatif, le sens s’inverse.

📖 3. Discriminant et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme T(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0, est Δ = b² − 4ac.

📝 Points essentiels

📌 Pour T(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, si Δ < 0, T(x) = 0 n’a aucune solution réelle.

📐 Formule - Si Δ = 0, l’unique solution réelle de T(x) = 0 est $x = -\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si Δ > 0, les deux solutions réelles de T(x) = 0 sont $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine réelle ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines.

📖 4. Factorisation des trinômes

★ À maîtriser

📌 Si un trinôme T(x) = ax² + bx + c a deux racines réelles x₁ et x₂, alors T(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Compléments

📌 Si un trinôme a une racine double x₀, alors T(x) = a(x − x₀)².

• Le polynôme x⁴ − 16 se factorise en (x − 2)(x + 2)(x² + 4), et x² + 4 ne se factorise pas sur ℝ car son discriminant vaut −16.

📖 5. Signe des polynômes factorisés

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation polynomiale factorisée, on repère les zéros des facteurs, on détermine le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par ces zéros, puis on combine les signes.

Compléments

• L’inéquation 2x² + 4x − 6 > 0, avec 2x² + 4x − 6 = 2(x − 1)(x + 3), a pour solutions ]−∞ ; −3[ ∪ ]1 ; +∞[.

• Le polynôme x³ − 3x + 2 se factorise en (x − 1)²(x + 2), et l’inéquation x³ − 3x + 2 < 0 a pour solutions ]−∞ ; −2[.

📖 6. Équations et inéquations rationnelles

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation rationnelle, on exclut d’abord les valeurs qui annulent le dénominateur, puis on transforme l’équation en une fraction égale à zéro et on conserve uniquement les solutions appartenant au domaine de définition.

📌 Pour une fraction définie A/B, avec B ≠ 0, A/B = 0 si et seulement si A = 0.

Compléments

• L’équation (3x − 4)/(2x + 1) = 1 a pour domaine ℝ \ {−1/2} et pour ensemble de solutions {5}.