QCM : Équations et inéquations (10 questions)

Question 1

1. En résolvant $4x+7=2x-5$ , quelle valeur obtient-on après avoir regroupé les termes en $x$ puis isolé l’inconnue ?

-1

1

-6

6

Explication

Le regroupement donne $4x-2x=-5-7$ , donc $2x=-12$ et $x=-6$ . Le signe positif inverse celui de la constante, la soustraction inversée donne une autre valeur, et l’oubli d’une constante conduit aux résultats plus petits proposés.

Answer

$$\mathbb{R}$$

Answer

$$]-\infty\,;\,-\frac{5}{4}]$$

Answer

La quantité $$b^2-4ac$$, qui permet notamment de déterminer le nombre de racines réelles

Answer

À déterminer le signe du produit sur chaque intervalle en combinant les signes des facteurs.

Answer

Les zéros du dénominateur sont écartés du domaine, tandis que les solutions proviennent des zéros du numérateur et doivent appartenir à ce domaine.

Answer

Il est vide, car cette égalité entre constantes est fausse.

Answer

Diviser par $$-5$$ et inverser le sens de l’inégalité.

Question 2

2. Après simplification d’une équation, on obtient $0=0$ . Quel est alors son ensemble de solutions réelles ?

\{1\}

\varnothing

\mathbb{R}

\{0\}

Explication

L’égalité $0=0$ est vraie pour toute valeur de l’inconnue, donc l’ensemble des solutions est $\mathbb{R}$ . L’ensemble vide correspond à une égalité fausse comme $0=3$ , tandis qu’un ensemble à un élément suppose une valeur particulière de x.

Question 3

3. Pour isoler $x$ dans $-3x<12$ , on divise les deux membres par $-3$ . Quel sens faut-il donner à l’inégalité obtenue ?

x>-4

x=-4

x<-4

x\geq -4

Explication

La division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité : $-3x<12$ devient $x>-4$ . Conserver le sens oublie cette règle, une multiplication positive n’explique pas l’inversion, et une division ne transforme pas l’inégalité en égalité.

Question 4

4. Un élève résout $3x-4\geq 7x+1$ . Quel ensemble de solutions doit-il retenir ?

]-\infty\,;\,-\frac{1}{4}]

[-\frac{5}{4}\,;\,+\infty[

]-\infty\,;\,-\frac{5}{4}]

]-\infty\,;\,-\frac{5}{4}[

Explication

En regroupant, on obtient $-4x\geq 5$ , puis la division par $-4$ inverse le sens : $x\leq-\frac{5}{4}$ . L’intervalle orienté vers la droite inverse le sens de la solution, la borne $-\frac{1}{4}$ vient d’une erreur de calcul, et la borne est incluse puisque l’inégalité initiale est large.

Question 5

5. Que représente le discriminant d’un trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\neq 0$ ?

La quantité

4ac-b^2

, qui donne directement la somme des racines

La quantité

b^2-4ac

, qui permet notamment de déterminer le nombre de racines réelles

La somme

a+b+c

, qui donne la valeur du trinôme en zéro

Le quotient

-b/(2a)

, qui donne la valeur du trinôme en son sommet

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ et indique, selon son signe, combien le trinôme possède de racines réelles. Le quotient $-b/(2a)$ correspond à la racine double lorsque le discriminant est nul, et non à la définition du discriminant.

Question 6

6. Quel polynôme du second degré apparaît comme facteur non décomposable sur $\mathbb{R}$ dans la factorisation de $x^4-16$ ?

x^2+4

x^2-2x+4

x^2-4

x^2+2x+4

Explication

La factorisation donnée est $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ , et le facteur $x^2+4$ ne se décompose pas sur $\mathbb{R}$ car son discriminant vaut $-16$ . Le facteur $x^2-4$ , en revanche, se décompose en deux facteurs linéaires réels.

Question 7

7. Dans la résolution d’une inéquation polynomiale factorisée, à quoi sert l’étude du signe de chaque facteur sur les intervalles séparés par ses zéros ?

À vérifier que les valeurs annulant un facteur appartiennent au domaine de définition.

À déterminer le signe du produit sur chaque intervalle en combinant les signes des facteurs.

À transformer le produit factorisé en une somme de termes plus simples.

À calculer les racines du polynôme sans tenir compte de leurs multiplicités.

Explication

Le signe du produit dépend des signes de ses facteurs, qu’on combine sur les intervalles délimités par leurs zéros pour résoudre l’inéquation. Calculer les racines est une étape préalable, mais ne détermine pas à lui seul les intervalles où le produit satisfait l’inégalité.

Question 8

8. Pour résoudre une équation rationnelle, quelle distinction faut-il faire entre exclure les zéros du dénominateur et résoudre l’équation obtenue après mise sous la forme d’une fraction égale à zéro ?

Les zéros du dénominateur sont écartés du domaine, tandis que les solutions proviennent des zéros du numérateur et doivent appartenir à ce domaine.

Les zéros du numérateur sont écartés du domaine, tandis que les solutions proviennent des zéros du dénominateur.

Les deux ensembles sont déterminés en annulant le dénominateur, puis en vérifiant que le numérateur est non nul.

Le domaine se détermine en annulant le numérateur, puis les solutions en annulant le dénominateur.

Explication

Le dénominateur ne peut pas s’annuler, alors qu’une fraction définie est nulle lorsque son numérateur s’annule. Contrairement à une erreur fréquente, les zéros du numérateur peuvent donc être des solutions, à condition que la fraction y soit définie.

Question 9

9. Après regroupement des termes en $x$ , une équation du premier degré devient $0=3$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son ensemble de solutions ?

Il contient une solution unique, obtenue en isolant le terme constant.

Il contient les réels sauf une valeur, déterminée par le coefficient de

x

.

Il contient tous les réels, car les termes en

x

se sont annulés.

Il est vide, car cette égalité entre constantes est fausse.

Explication

Une égalité fausse entre constantes, comme $0=3$ , signifie qu’aucune valeur de $x$ ne satisfait l’équation. À l’inverse, l’égalité vraie $0=0$ donnerait tous les réels comme solutions.

Question 10

10. Pour résoudre $-5x+2>17$ , quelle étape faut-il effectuer après avoir soustrait $2$ des deux membres ?

Diviser par

-5

et inverser le sens de l’inégalité.

Diviser par

5

et conserver le sens de l’inégalité.

Ajouter

5x

aux deux membres et inverser le sens de l’inégalité.

Diviser par

-5

et conserver le sens de l’inégalité.

Explication

Après soustraction de $2$ , on obtient $-5x>15$ ; la division par un nombre négatif impose donc d’inverser le sens, ce qui donne $x<-3$ . Conserver le sens lors de cette division est une erreur, car le signe du diviseur est négatif.

QCM : Équations et inéquations (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En résolvant $4x+7=2x-5$ , quelle valeur obtient-on après avoir regroupé les termes en $x$ puis isolé l’inconnue ?

2. Après simplification d’une équation, on obtient $0=0$ . Quel est alors son ensemble de solutions réelles ?

3. Pour isoler $x$ dans $-3x<12$ , on divise les deux membres par $-3$ . Quel sens faut-il donner à l’inégalité obtenue ?

4. Un élève résout $3x-4\geq 7x+1$ . Quel ensemble de solutions doit-il retenir ?

5. Que représente le discriminant d’un trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\neq 0$ ?

6. Quel polynôme du second degré apparaît comme facteur non décomposable sur $\mathbb{R}$ dans la factorisation de $x^4-16$ ?

7. Dans la résolution d’une inéquation polynomiale factorisée, à quoi sert l’étude du signe de chaque facteur sur les intervalles séparés par ses zéros ?

8. Pour résoudre une équation rationnelle, quelle distinction faut-il faire entre exclure les zéros du dénominateur et résoudre l’équation obtenue après mise sous la forme d’une fraction égale à zéro ?

9. Après regroupement des termes en $x$ , une équation du premier degré devient $0=3$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son ensemble de solutions ?

10. Pour résoudre $-5x+2>17$ , quelle étape faut-il effectuer après avoir soustrait $2$ des deux membres ?

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QCM : Équations et inéquations (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En résolvant 4x+7=2x−54x+7=2x-54x+7=2x−5, quelle valeur obtient-on après avoir regroupé les termes en xxx puis isolé l’inconnue ?

2. Après simplification d’une équation, on obtient 0=00=00=0. Quel est alors son ensemble de solutions réelles ?

3. Pour isoler xxx dans −3x<12-3x<12−3x<12, on divise les deux membres par −3-3−3. Quel sens faut-il donner à l’inégalité obtenue ?

4. Un élève résout 3x−4≥7x+13x-4\geq 7x+13x−4≥7x+1. Quel ensemble de solutions doit-il retenir ?

5. Que représente le discriminant d’un trinôme T(x)=ax2+bx+cT(x)=ax^2+bx+cT(x)=ax2+bx+c, avec a≠0a\neq 0a=0 ?

6. Quel polynôme du second degré apparaît comme facteur non décomposable sur R\mathbb{R}R dans la factorisation de x4−16x^4-16x4−16 ?

7. Dans la résolution d’une inéquation polynomiale factorisée, à quoi sert l’étude du signe de chaque facteur sur les intervalles séparés par ses zéros ?

8. Pour résoudre une équation rationnelle, quelle distinction faut-il faire entre exclure les zéros du dénominateur et résoudre l’équation obtenue après mise sous la forme d’une fraction égale à zéro ?

9. Après regroupement des termes en xxx, une équation du premier degré devient 0=30=30=3. Quelle conséquence cela a-t-il sur son ensemble de solutions ?

10. Pour résoudre −5x+2>17-5x+2>17−5x+2>17, quelle étape faut-il effectuer après avoir soustrait 222 des deux membres ?

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1. En résolvant $4x+7=2x-5$ , quelle valeur obtient-on après avoir regroupé les termes en $x$ puis isolé l’inconnue ?

2. Après simplification d’une équation, on obtient $0=0$ . Quel est alors son ensemble de solutions réelles ?

3. Pour isoler $x$ dans $-3x<12$ , on divise les deux membres par $-3$ . Quel sens faut-il donner à l’inégalité obtenue ?

4. Un élève résout $3x-4\geq 7x+1$ . Quel ensemble de solutions doit-il retenir ?

5. Que représente le discriminant d’un trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\neq 0$ ?

6. Quel polynôme du second degré apparaît comme facteur non décomposable sur $\mathbb{R}$ dans la factorisation de $x^4-16$ ?

9. Après regroupement des termes en $x$ , une équation du premier degré devient $0=3$ . Quelle conséquence cela a-t-il sur son ensemble de solutions ?

10. Pour résoudre $-5x+2>17$ , quelle étape faut-il effectuer après avoir soustrait $2$ des deux membres ?