Domaine [−1, 1] et image [0, π]
Explication
L’arccosinus est la réciproque du cosinus restreint à [0, π] : son domaine est [−1, 1] et son image [0, π]. L’inversion des intervalles confond domaine et image, ℝ correspond au cosinus, et [−π, π] n’est pas l’image choisie.
Il est continu et strictement décroissant, et son image est [−1, 1].
Explication
Sur [0, π], le cosinus est continu et strictement décroissant; il réalise ainsi une bijection sur [−1, 1]. La croissance est inversée, la périodicité ne garantit pas la bijectivité, et l’image de la restriction comprend aussi les valeurs négatives.
arccos(−1/2)
Explication
Pour θ dans [0, π], cos(θ) = y équivaut à θ = arccos(y); ici y = −1/2. Prendre l’arccosinus de θ inverse les rôles, la périodicité ne s’applique pas à la détermination dans l’intervalle imposé, et cos(−1/2) n’est pas l’angle recherché.
−5/4
Explication
La formule est pour x dans ]−1, 1[. Pour a = 3/5, , donc la dérivée vaut ; les distracteurs omettent le signe, inversent le facteur ou changent le signe dans le radicand.
La dérivation donne −arccos′(x) sin(arccos(x)) = 1, avec sin(arccos(x)) ≥ 0.
Explication
La règle de dérivation en chaîne donne le facteur négatif provenant de la dérivée du cosinus; comme arccos(x) appartient à [0, π], son sinus est non négatif. L’option avec le cosinus confond les fonctions, celle avec un sinus non positif choisit le mauvais signe, et le sinus n’est pas nul pour tout x de l’intervalle ouvert.
Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Fonction arccosinus.
Quel est le domaine de définition de l’arccosinus ?
Quelle est l’image de l’arccosinus ?
Quel type d’application relie l’arccosinus au cosinus sur ?
La bijection réciproque.
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