Fonction arccosinus

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés de l’arccosinus
2. Dérivée de l’arccosinus

📖 1. Définition et propriétés de l’arccosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Arccosinus : Bijection réciproque de la restriction du cosinus à [0, π], de domaine [−1, 1] et d’image [0, π].

📝 Points essentiels

• Sur [0, π], le cosinus est continu et strictement décroissant, donc il réalise une bijection de [0, π] sur [−1, 1].

📌 Pour x ∈ [0, π] et y ∈ [−1, 1], cos(x) = y si et seulement si x = arccos(y).

💡 Astuce mémo

Le cosinus décroît sur [0, π] ; l’arccosinus échange les rôles de x et y.

📖 2. Dérivée de l’arccosinus

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour x ∈ ]−1, 1[, $\operatorname{arccos}'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Compléments

• La dérivée de l’arccosinus se déduit en dérivant cos(arccos(x)) = x, puis en utilisant sin(arccos(x)) = √(1 − x²), puisque arccos(x) ∈ [0, π].

• Pour x ∈ ]−1, 1[, sin(arccos(x)) = √(1 − x²), car arccos(x) ∈ [0, π] et le sinus y est non négatif.