Fiche de révision : Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier degré
2. Inéquations du premier degré
3. Fonction trinôme du second degré
4. Discriminant et résolution
5. Factorisation et racines
6. Signe du trinôme

📖 1. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Égalité de la forme $ax+b=0$, où a et b sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $ax+b=0$ avec $a\ne0$, si b=0 alors $S=\{0\}$ et si $b\ne0$ alors $S=\left\{-\frac{b}{a}\right\}$.

• Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, donc $(ax+b)(cx+d)=0$ équivaut à $ax+b=0$ ou $cx+d=0$.

• Un quotient est nul si et seulement si son dénominateur est non nul et son numérateur est nul, donc $\frac{ax+b}{cx+d}=0$ impose $cx+d\ne0$ et $ax+b=0$.

• Pour $|ax+b|=c$ avec $a\ne0$, si c<0 l’équation n’a aucune solution, tandis que si c≥0 ses deux solutions sont $\frac{c-b}{a}$ et $\frac{-c-b}{a}$.

💡 Astuce mémo

Produit nul → quotient défini → valeur absolue

📖 2. Inéquations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du premier degré : Inéquation de la forme $ax+b>0$, $ax+b\ge0$, $ax+b<0$ ou $ax+b\le0$, avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité conserve son sens.

📌 Multiplier les deux membres d’une inégalité par un nombre positif conserve son sens, tandis que les multiplier par un nombre négatif l’inverse.

• Si $a>0$, l’expression $ax+b$ est négative avant $-\frac{b}{a}$, nulle en $-\frac{b}{a}$ et positive après cette valeur.

💡 Astuce mémo

Multiplier par positif conserve le sens, par négatif l’inverse

📖 3. Fonction trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La forme canonique d’une fonction du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📌 Si a>0, la fonction admet un minimum égal à β atteint pour x=α, tandis que si a<0 elle admet un maximum égal à β atteint pour x=α.

• La courbe représentative de $f(x)=ax^2+bx+c$ est une parabole de sommet $S(\alpha,\beta)$, tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.

💡 Astuce mémo

Une parabole dont le sommet indique le minimum ou le maximum

📖 4. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine, Δ=0 : une racine, Δ>0 : deux racines

📖 5. Factorisation et racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de $ax^2+bx+c=0$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne se factorise pas sur les réels ; si $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ → le nombre de racines → la forme factorisée

📖 6. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, le trinôme garde partout le signe de a.

• Si $\Delta=0$, le trinôme garde le signe de a sauf en $-\frac{b}{2a}$, où il est nul.

• Si $\Delta>0$, le trinôme a le signe de a à l’extérieur des deux racines et le signe opposé à a entre elles.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on étudie le discriminant, détermine les racines éventuelles, construit le tableau de signes du trinôme, puis sélectionne les intervalles correspondant à l’inégalité demandée.

💡 Astuce mémo

Δ>0 donne un signe opposé entre les racines, Δ<0 garde le signe de a

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant