Fiche de révision : Fonctions exponentielle et logarithme

📋 Plan du Cours

1. Lien entre exponentielle et cybersécurité
2. Fonction exponentielle et limites
3. Exponentielle de fonctions affines
4. Calculs et équations exponentielles
5. Fonction logarithme népérien
6. Calculs et équations logarithmiques
7. Dérivées de fonctions composées
8. Méthodes d’étude de fonctions

📖 1. Lien entre exponentielle et cybersécurité

📝 Points essentiels

• Pour un mot de passe construit avec un alphabet de 95 symboles et de longueur L, le nombre de combinaisons possibles est $N=95^L=e^{L\ln(95)}$.

💡 Astuce mémo

Longueur du mot de passe → nombre de combinaisons exponentiel

📖 2. Fonction exponentielle et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : L’unique fonction dérivable sur R qui vérifie $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$.

★ À maîtriser

• La fonction exponentielle est définie sur R, à valeurs strictement positives, strictement croissante et vérifie $e^0=1$, $e^1=e\approx2{,}72$ et $e^{-1}=1/e\approx0{,}37$.

📐 Formule — Les limites de l’exponentielle sont $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

Compléments

• Le nombre e est défini par $e=\exp(1)\approx2{,}718$ et l’on écrit $\exp(x)=e^x$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$.

💡 Astuce mémo

Une courbe toujours positive qui monte à droite et approche l’axe à gauche

📖 3. Exponentielle de fonctions affines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $f(t)=e^{kt}$, on a $f'(t)=ke^{kt}$.

📌 La fonction $t\mapsto e^{kt}$ est strictement croissante si k>0 et strictement décroissante si k<0, tout en passant par le point (0,1).

💡 Astuce mémo

k positif : croissance ; k négatif : décroissance

📖 4. Calculs et équations exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^xe^y=e^{x+y}$, $e^{-x}=\frac1{e^x}$, $\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$ et $(e^x)^n=e^{nx}$ pour tout entier n.

📌 Pour tous réels a et b, $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$, $e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b$ et $e^a>e^b\Longleftrightarrow a>b$.

📐 Formule — La dérivée de l’exponentielle composée est $\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)e^{u(x)}$.

Compléments

• L’équation $e^{3x-4}=e^{2x+1}$ a pour unique solution $x=5$.

💡 Astuce mémo

Transformer les exposants, comparer, puis dériver

📖 5. Fonction logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction logarithme népérien : La fonction réciproque de l’exponentielle, définie et dérivable sur ]0,+∞[, avec $e^{\ln x}=x$ pour x>0 et $\ln(e^x)=x$ pour tout réel x.

★ À maîtriser

• La fonction ln a pour domaine ]0,+∞[, pour image R, est strictement croissante et vérifie $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.

📐 Formule — Les limites du logarithme sont $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$; sa courbe admet l’asymptote verticale x=0.

Compléments

• La fonction ln est concave sur ]0,+∞[ car $(\ln x)''=-\frac1{x^2}<0$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle sur R, logarithme sur les positifs ; fonctions réciproques

📖 6. Calculs et équations logarithmiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour x,y>0 et n entier, $\ln(xy)=\ln x+\ln y$, $\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ et $\ln(x^n)=n\ln x$.

📌 Pour x,y>0, $\ln x=\ln y\Longleftrightarrow x=y$ et $\ln x>\ln y\Longleftrightarrow x>y$.

• Pour résoudre $\ln(u(x))=a$ ou une inéquation associée, il faut imposer $u(x)>0$, appliquer la réciprocité avec l’exponentielle, puis résoudre l’équation ou l’inéquation obtenue.

💡 Astuce mémo

Produit → somme, quotient → différence, puissance → coefficient

📖 7. Dérivées de fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x>0, $\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x$ et, si u(x)>0, $\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

Compléments

• Pour $f(x)=\ln(1+3x)$, le domaine est $x>-\frac13$ et la dérivée est $f'(x)=\frac3{1+3x}$.

• Pour $h(x)=x\ln x$ sur ]0,+∞[, la règle du produit donne $h'(x)=1+\ln x$.

💡 Astuce mémo

Domaine → fonction intérieure → dérivée composée

📖 8. Méthodes d’étude de fonctions

★ À maîtriser

• 🔄 Une étude complète suit l’ordre:
  1. Déterminer le domaine
  2. Calculer les limites
  3. Calculer la dérivée
  4. Étudier le signe de la dérivée
  5. Dresser les variations et déterminer les extrema

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-8\ln x$ sur ]0,+∞[, la dérivée est $f'(x)=2x-\frac8x=\frac{2(x-2)(x+2)}x$ et le minimum est atteint en x=2.