QCM : Fonctions exponentielle et logarithme — 20 questions

Question 1

1. Un mot de passe est formé de 12 symboles choisis parmi un alphabet de 95 symboles. Quelle expression donne le nombre de combinaisons possibles ?

95^{12}=e^{12\ln(95)}

95\times 12=e^{12+\ln(95)}

\frac{95}{12}=e^{\ln(95)-12}

12^{95}=e^{95\ln(12)}

Explication

Chaque position peut contenir l’un des 95 symboles, ce qui donne $95^{12}$ combinaisons, et cette puissance s’écrit aussi $e^{12\ln(95)}$ . L’expression $12^{95}$ inverse le rôle de la longueur et de la taille de l’alphabet.

Answer

$$95^{12}=e^{12\ln(95)}$$

Question 2

2. Pour un mot de passe composé de L symboles choisis dans un alphabet de 95 caractères, comment évolue le nombre de combinaisons lorsque L augmente d’une unité ?

Il augmente de 95 unités

Il augmente de L unités

Il est divisé par 95

Il est multiplié par 95

Explication

Le nombre de combinaisons vaut $N=95^L$ ; remplacer L par $L+1$ multiplie donc N par 95. Une addition de 95 ne correspond pas à la croissance exponentielle de cette expression.

Answer

Il est multiplié par 95

Question 3

3. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ ?

Elle vérifie

f'(x)=f(x)+1

et

f(0)=1

Elle vérifie

f'(x)=f(x)

et

f(0)=1

Elle vérifie

f'(x)=1

et

f(0)=e

Elle vérifie

f'(x)=x f(x)

et

f(0)=0

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui est égale à sa dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. La relation $f'(x)=x f(x)$ décrit une autre équation différentielle, pas la caractérisation demandée.

Answer

Elle vérifie $$f'(x)=f(x)$$ et $$f(0)=1$$

Question 4

4. Quelle est la limite de $e^x$ lorsque x tend vers $-\infty$ ?

1

+\infty

0

-\infty

Explication

Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , les valeurs de $e^x$ se rapprochent de 0 tout en restant positives. La limite vers $+\infty$ correspond au cas où $x$ tend vers $+\infty$ .

Answer

$$+\infty$$

Answer

$$f'(t)=3e^{3t}$$

Answer

Pour $$k<0$$

Answer

$$e^{2x}$$

Answer

$$8xe^{4x^2-1}$$

Answer

$$\ln(e^x)=x$$ pour tout réel $$x$$

Answer

Son image est $$\mathbb{R}$$ et elle est strictement croissante.

Answer

$$\ln x\to-\infty$$ et la courbe admet l’asymptote verticale $$x=0$$.

Answer

$$2\ln x-\ln y$$

Answer

Imposer $$2x-1>0$$, écrire $$2x-1=e^3$$, puis résoudre en $$x$$.

Answer

Il faut que $$u(x)>0$$ sur l’intervalle considéré.

Answer

$$h'(x)=1+\ln x$$

Answer

Domaine, limites, dérivée, signe de la dérivée, variations et extrema

Answer

En $$x=2$$

Question 5

5. Que vaut la limite $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^4}$ ?

+\infty

0

Elle n’existe pas

1

Explication

L’exponentielle croît plus rapidement que toute puissance de x, donc $\frac{e^x}{x^4}$ tend vers $+\infty$ . La valeur 0 serait associée à une puissance placée au numérateur face à une exponentielle croissante.

Question 6

6. Si $f(t)=e^{3t}$ , quelle est l’expression de sa dérivée ?

f'(t)=3e^{3t}

f'(t)=e^{3t}

f'(t)=3t e^{3t}

f'(t)=e^{t+3}

Explication

La dérivée de $e^{kt}$ est $ke^{kt}$ ; avec $k=3$ , on obtient donc $f'(t)=3e^{3t}$ . Le facteur 3 provient de la dérivée de l’expression affine située dans l’exposant.

Question 7

7. Pour quelle valeur de k la fonction $t\mapsto e^{kt}$ est-elle strictement décroissante ?

Pour

k=0

Pour

k>0

Pour

k=1

Pour

k<0

Explication

La dérivée vaut $ke^{kt}$ et l’exponentielle est positive ; son signe est donc celui de k. Ainsi, $k<0$ entraîne une décroissance, tandis que $k>0$ entraîne une croissance.

Question 8

8. Quelle expression est égale à $\frac{e^{3x}}{e^x}$ pour tout réel $x$ ?

e^{2x}

e^{3x-1}

e^{x^3}

3e^{2x}

Explication

Le quotient de deux exponentielles de même base se simplifie en soustrayant les exposants, donc $\frac{e^{3x}}{e^x}=e^{3x-x}=e^{2x}$ . La multiplication par 3 devant l’exponentielle ne correspond pas à cette règle de quotient.

Question 9

9. Si $e^{2x-1}>e^5$ , quelle condition doit vérifier $x$ ?

x<\frac52

x>3

x>\frac52

x<3

Explication

La fonction exponentielle étant strictement croissante, l’inégalité conserve l’ordre des exposants : $2x-1>5$ , d’où $x>3$ . La valeur $\frac52$ proviendrait d’une résolution incorrecte de l’inégalité.

Question 10

10. Quelle est la dérivée de $f(x)=e^{4x^2-1}$ ?

8xe^{4x^2-1}

4xe^{4x^2-1}

e^{8x-1}

8xe^{4x^2}

Explication

La dérivée d’une exponentielle composée est le produit de la dérivée de l’exposant par l’exponentielle elle-même ; ici, la dérivée de $4x^2-1$ vaut $8x$ . L’expression $4xe^{4x^2-1}$ oublie le facteur 2 issu de la dérivation de $x^2$ .

Question 11

11. Quelle égalité exprime correctement la réciprocité entre le logarithme népérien et l’exponentielle ?

\ln(e^x)=x

pour tout réel

x

e^{\ln x}=\ln x

pour tout réel

x

\ln(e^x)=e^x

pour tout réel

x

\ln(x)=e^x

pour tout réel

x

Explication

Le logarithme népérien et l’exponentielle sont des fonctions réciproques, ce qui donne $\ln(e^x)=x$ pour tout réel $x$ . L’expression $e^{\ln x}=x$ est également vraie, mais seulement lorsque $x>0$ .

Question 12

12. Quelles sont l’image et la variation de la fonction $\ln$ ?

Son image est

\mathbb{R}

et elle est strictement croissante.

Son image est

]0,+\infty[

et elle est strictement croissante.

Son image est

[0,+\infty[

et elle est strictement décroissante.

Son image est

\mathbb{R}

et elle est strictement décroissante.

Explication

La fonction logarithme est définie sur $]0,+\infty[$ , prend toutes les valeurs réelles et est strictement croissante. Son image n’est donc pas limitée aux valeurs positives.

Question 13

13. Quelle propriété décrit correctement le comportement de $\ln x$ lorsque $x$ tend vers zéro par valeurs positives ?

\ln x\to0

et la courbe admet l’asymptote verticale

x=0

.

\ln x\to-\infty

et la courbe admet l’asymptote verticale

x=0

.

\ln x\to+\infty

et la courbe admet l’asymptote horizontale

y=0

.

\ln x\to-\infty

et la courbe admet l’asymptote horizontale

y=0

.

Explication

Quand $x\to0^+$ , le logarithme tend vers $-\infty$ , ce qui correspond à une asymptote verticale d’équation $x=0$ . L’asymptote horizontale $y=0$ est associée au comportement de l’exponentielle lorsque son argument tend vers $-\infty$ .

Question 14

14. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle expression est égale à $\ln\left(\frac{x^2}{y}\right)$ ?

2\ln x-\ln y

2\ln x+\ln y

\ln\left(\frac{2x}{y}\right)

\ln x-2\ln y

Explication

Les propriétés du logarithme donnent $\ln(x^2/y)=\ln(x^2)-\ln y=2\ln x-\ln y$ . Le dénominateur contribue donc par une soustraction, et non par une addition.

Question 15

15. Si $\ln(3x-2)>\ln 7$ et si les deux arguments sont admissibles, quelle condition obtient-on ?

x>3

x>\frac53

x<3

x>\frac73

Explication

Le logarithme étant strictement croissant, l’inégalité équivaut à $3x-2>7$ , soit $x>3$ . La condition $x>\frac53$ assure seulement que l’argument est positif ; elle ne résout pas l’inégalité complète.

Question 16

16. Quelle démarche faut-il suivre pour résoudre $\ln(2x-1)=3$ ?

Écrire

2x-1=3

, puis vérifier que l’argument est positif.

Imposer

2x-1>0

, écrire

2x-1=e^3

, puis résoudre en

x

.

Remplacer directement

\ln(2x-1)

par

2x-1

sans condition.

Imposer

2x-1<0

, écrire

2x-1=e^3

, puis résoudre en

x

.

Explication

Il faut d’abord vérifier le domaine, donc imposer $2x-1>0$ , puis appliquer l’exponentielle aux deux membres pour obtenir $2x-1=e^3$ . La substitution directe de $\ln(u)$ par $u$ confond deux fonctions différentes.

Question 17

17. Si une fonction s’écrit $g(x)=\ln(u(x))$ , sous quelle condition la formule de dérivation $g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$ est-elle applicable ?

Il faut que

u(x)>0

sur l’intervalle considéré.

Il faut que

u'(x)>0

sur l’intervalle considéré.

Il faut que

u(x)\neq 0

sur l’intervalle considéré.

Il faut que

u(x)

soit un polynôme sur l’intervalle considéré.

Explication

La fonction logarithme composée est définie et dérivable lorsque son argument vérifie $u(x)>0$ , puis sa dérivée vaut $\frac{u'(x)}{u(x)}$ . La condition $u(x)\neq 0$ ne suffit pas, car le logarithme réel n’est pas défini pour un argument négatif.

Question 18

18. Quelle dérivée obtient-on pour $h(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty[$ ?

h'(x)=\frac{1}{x}

h'(x)=x+\ln x

h'(x)=1+\ln x

h'(x)=\frac{\ln x}{x}

Explication

La fonction est un produit, donc la règle du produit donne $h'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x=1+\ln x$ . La formule $\frac{u'(x)}{u(x)}$ concerne une expression de la forme $\ln(u(x))$ , et non le produit $x\ln x$ .

Question 19

19. Dans quel ordre général réalise-t-on l’étude d’une fonction composée ?

Domaine, dérivée, variations, limites, signe, puis extrema

Dérivée, domaine, extrema, limites, signe, puis variations

Domaine, limites, dérivée, signe de la dérivée, variations et extrema

Limites, variations, domaine, dérivée, extrema, puis signe

Explication

L’étude suit une progression logique : on détermine d’abord le domaine, puis les limites et la dérivée, avant d’étudier le signe de celle-ci pour établir les variations et les extrema. Commencer par les variations sans analyser le signe de la dérivée ne respecte pas cette méthode.

Question 20

20. Pour $f(x)=x^2-8\ln x$ définie sur $]0,+\infty[$ , en quel point la fonction atteint-elle son minimum ?

En

x=4

En

x=2

En

x=\frac12

En

x=8

Explication

On a $f'(x)=\frac{2(x-2)(x+2)}x$ ; sur $]0,+\infty[$ , le signe de la dérivée s’inverse en $x=2$ , ce qui donne un minimum. Les autres valeurs ne correspondent pas à un changement de signe de cette dérivée.

QCM : Fonctions exponentielle et logarithme — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Un mot de passe est formé de 12 symboles choisis parmi un alphabet de 95 symboles. Quelle expression donne le nombre de combinaisons possibles ?

2. Pour un mot de passe composé de L symboles choisis dans un alphabet de 95 caractères, comment évolue le nombre de combinaisons lorsque L augmente d’une unité ?

3. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ ?

4. Quelle est la limite de $e^x$ lorsque x tend vers $-\infty$ ?

5. Que vaut la limite $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^4}$ ?

6. Si $f(t)=e^{3t}$ , quelle est l’expression de sa dérivée ?

7. Pour quelle valeur de k la fonction $t\mapsto e^{kt}$ est-elle strictement décroissante ?

8. Quelle expression est égale à $\frac{e^{3x}}{e^x}$ pour tout réel $x$ ?

9. Si $e^{2x-1}>e^5$ , quelle condition doit vérifier $x$ ?

10. Quelle est la dérivée de $f(x)=e^{4x^2-1}$ ?

11. Quelle égalité exprime correctement la réciprocité entre le logarithme népérien et l’exponentielle ?

12. Quelles sont l’image et la variation de la fonction $\ln$ ?

13. Quelle propriété décrit correctement le comportement de $\ln x$ lorsque $x$ tend vers zéro par valeurs positives ?

14. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle expression est égale à $\ln\left(\frac{x^2}{y}\right)$ ?

15. Si $\ln(3x-2)>\ln 7$ et si les deux arguments sont admissibles, quelle condition obtient-on ?

16. Quelle démarche faut-il suivre pour résoudre $\ln(2x-1)=3$ ?

17. Si une fonction s’écrit $g(x)=\ln(u(x))$ , sous quelle condition la formule de dérivation $g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$ est-elle applicable ?

18. Quelle dérivée obtient-on pour $h(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty[$ ?

19. Dans quel ordre général réalise-t-on l’étude d’une fonction composée ?

20. Pour $f(x)=x^2-8\ln x$ définie sur $]0,+\infty[$ , en quel point la fonction atteint-elle son minimum ?

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QCM : Fonctions exponentielle et logarithme — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Un mot de passe est formé de 12 symboles choisis parmi un alphabet de 95 symboles. Quelle expression donne le nombre de combinaisons possibles ?

2. Pour un mot de passe composé de L symboles choisis dans un alphabet de 95 caractères, comment évolue le nombre de combinaisons lorsque L augmente d’une unité ?

3. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les fonctions dérivables sur R\mathbb{R}R ?

4. Quelle est la limite de exe^xex lorsque x tend vers −∞-\infty−∞ ?

5. Que vaut la limite lim⁡x→+∞exx4\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^4}limx→+∞​x4ex​ ?

6. Si f(t)=e3tf(t)=e^{3t}f(t)=e3t, quelle est l’expression de sa dérivée ?

7. Pour quelle valeur de k la fonction t↦ektt\mapsto e^{kt}t↦ekt est-elle strictement décroissante ?

8. Quelle expression est égale à e3xex\frac{e^{3x}}{e^x}exe3x​ pour tout réel xxx ?

9. Si e2x−1>e5e^{2x-1}>e^5e2x−1>e5, quelle condition doit vérifier xxx ?

10. Quelle est la dérivée de f(x)=e4x2−1f(x)=e^{4x^2-1}f(x)=e4x2−1 ?

11. Quelle égalité exprime correctement la réciprocité entre le logarithme népérien et l’exponentielle ?

12. Quelles sont l’image et la variation de la fonction ln⁡\lnln ?

13. Quelle propriété décrit correctement le comportement de ln⁡x\ln xlnx lorsque xxx tend vers zéro par valeurs positives ?

14. Pour x>0x>0x>0 et y>0y>0y>0, quelle expression est égale à ln⁡(x2y)\ln\left(\frac{x^2}{y}\right)ln(yx2​) ?

15. Si ln⁡(3x−2)>ln⁡7\ln(3x-2)>\ln 7ln(3x−2)>ln7 et si les deux arguments sont admissibles, quelle condition obtient-on ?

16. Quelle démarche faut-il suivre pour résoudre ln⁡(2x−1)=3\ln(2x-1)=3ln(2x−1)=3 ?

17. Si une fonction s’écrit g(x)=ln⁡(u(x))g(x)=\ln(u(x))g(x)=ln(u(x)), sous quelle condition la formule de dérivation g′(x)=u′(x)u(x)g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}g′(x)=u(x)u′(x)​ est-elle applicable ?

18. Quelle dérivée obtient-on pour h(x)=xln⁡xh(x)=x\ln xh(x)=xlnx sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+∞[ ?

19. Dans quel ordre général réalise-t-on l’étude d’une fonction composée ?

20. Pour f(x)=x2−8ln⁡xf(x)=x^2-8\ln xf(x)=x2−8lnx définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+∞[, en quel point la fonction atteint-elle son minimum ?

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3. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ ?

4. Quelle est la limite de $e^x$ lorsque x tend vers $-\infty$ ?

5. Que vaut la limite $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^4}$ ?

6. Si $f(t)=e^{3t}$ , quelle est l’expression de sa dérivée ?

7. Pour quelle valeur de k la fonction $t\mapsto e^{kt}$ est-elle strictement décroissante ?

8. Quelle expression est égale à $\frac{e^{3x}}{e^x}$ pour tout réel $x$ ?

9. Si $e^{2x-1}>e^5$ , quelle condition doit vérifier $x$ ?

10. Quelle est la dérivée de $f(x)=e^{4x^2-1}$ ?

12. Quelles sont l’image et la variation de la fonction $\ln$ ?

13. Quelle propriété décrit correctement le comportement de $\ln x$ lorsque $x$ tend vers zéro par valeurs positives ?

14. Pour $x>0$ et $y>0$ , quelle expression est égale à $\ln\left(\frac{x^2}{y}\right)$ ?

15. Si $\ln(3x-2)>\ln 7$ et si les deux arguments sont admissibles, quelle condition obtient-on ?

16. Quelle démarche faut-il suivre pour résoudre $\ln(2x-1)=3$ ?

17. Si une fonction s’écrit $g(x)=\ln(u(x))$ , sous quelle condition la formule de dérivation $g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$ est-elle applicable ?

18. Quelle dérivée obtient-on pour $h(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty[$ ?

20. Pour $f(x)=x^2-8\ln x$ définie sur $]0,+\infty[$ , en quel point la fonction atteint-elle son minimum ?