Fiche de révision : Équations et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Notion et résolution des équations
2. Équations du premier degré
3. Équations produit nul
4. Équations quotient nul
5. Notion et résolution des inéquations

📖 1. Notion et résolution des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Égalité dans laquelle figure(nt) un ou plusieurs nombres inconnus.
• Résolution d’une équation : Trouver toutes les valeurs des inconnues qui vérifient l’égalité.

★ À maîtriser

📌 Multiplier ou diviser chacun des deux membres d’une équation par un même nombre non nul ne change pas ses solutions.

Compléments

📌 Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une équation ne change pas ses solutions.

• Dans l’équation $2x^2-10x-10=x(3-x)$, remplacer $x$ par 5 donne −10 dans chacun des deux membres, donc 5 est une solution.

📖 2. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Équation d’inconnue $x$ pouvant s’écrire $mx+p=0$, où $m$ et $p$ sont des nombres et $m\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation $mx+p=0$, avec $m\ne0$, possède une unique solution : $x_0=-\frac{p}{m}$.

Compléments

• L’équation $3x+5=2-x$ est du premier degré et sa solution est $x=-\frac{3}{4}$.

📌 L’équation $3x^2-5x+5=0$ est de degré 2 et n’est donc pas une équation du premier degré.

📖 3. Équations produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation produit nul : Équation d’inconnue $x$ pouvant s’écrire $A(x)\times B(x)=0$, où $A$ et $B$ dépendent de $x$.

★ À maîtriser

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses deux facteurs est nul.

Compléments

• Pour résoudre $(2x+1)(x-4)=0$, on annule successivement chaque facteur, ce qui donne $2x+1=0$ ou $x-4=0$, puis $x=-\frac12$ ou $x=4$.

📌 La propriété du produit nul s’applique à une équation dont le produit vaut 0, mais pas à une équation comme $(2x-1)(x+3)=5$.

📖 4. Équations quotient nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation quotient nul : Équation d’inconnue $x$ pouvant s’écrire $\frac{A(x)}{B(x)}=0$, où $A$ et $B$ dépendent de $x$.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation quotient, on détermine d’abord les valeurs interdites en annulant le dénominateur, puis on résout l’équation dans le domaine de validité.

📌 Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, à condition que le quotient soit défini.

Compléments

• Pour $\frac{3x-7}{x-5}=0$, la valeur interdite est 5 et l’unique solution est $x=\frac73$.

• Pour $\frac{3}{x+2}=\frac1x$, le domaine de validité est $\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}$ et l’unique solution est $x=1$.

📖 5. Notion et résolution des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Inégalité dans laquelle figure(nt) un ou plusieurs nombres inconnus.
• Résolution d’une inéquation : Trouver toutes les valeurs des inconnues qui vérifient l’inégalité.

📝 Points essentiels

• L’inégalité $2x^2-2x-3\leq x^2+1$ est une inéquation d’inconnue $x$.

• Il est possible de vérifier si un nombre donné est solution d’une inéquation, même lorsque sa résolution est difficile.