Fiche de révision : Équations et inéquations du premier degré

📋 Plan du Cours

1. Égalités et identités algébriques
2. Résolution des équations
3. Résolution des inéquations

📖 1. Égalités et identités algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité : Phrase mathématique composée de deux membres séparés par le signe =.
• Identité : Égalité avec des lettres qui est toujours vraie.

★ À maîtriser

📌 Une égalité avec des lettres peut être toujours vraie, toujours fausse ou vraie seulement pour certaines valeurs des lettres.

Compléments

• L’égalité a² − b² = (a − b)(a + b) est une identité, tandis que x + 2 = 5 n’est vraie que pour x = 3.

💡 Astuce mémo

Une égalité peut dépendre de x ; une identité reste vraie pour toutes ses valeurs.

📖 2. Résolution des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : Symbole qui signifie que les deux égalités qui l’entourent sont vraies pour les mêmes valeurs de x.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on effectue des opérations équivalentes sur les deux membres afin d’isoler l’inconnue.

📌 Dans une équation de la forme A(x)/B(x) = k, les valeurs de x qui annulent B(x) sont interdites, car la division par zéro est impossible.

• L’équation 5x + 23 = −3x + 7 a pour solution x = −2, donc son ensemble de solutions est S = {−2}.

Compléments

• Pour une valeur de x qui n’annule pas B(x), multiplier les deux membres de A(x)/B(x) = k par B(x) donne l’équation équivalente A(x) = k × B(x).

💡 Astuce mémo

Soustraire 23, ajouter 3x, puis diviser par 8.

📖 3. Résolution des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inéquation d’inconnue x est une expression de la forme A(x) ≤ B(x) ou A(x) < B(x), et la résoudre consiste à trouver toutes les valeurs de x qui satisfont l’inégalité.
• Inéquations équivalentes : Inéquations qui ont le même ensemble de solutions.

📝 Points essentiels

📌 Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation, ou développer, factoriser et réduire ses membres, donne une inéquation équivalente.

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre positif non nul conserve le sens de l’inégalité, tandis qu’un nombre négatif non nul impose de changer son sens.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un nombre positif conserve le sens ; par un négatif, il faut l’inverser.