Fiche de révision : Équilibre mécanique d’un système

📋 Plan du Cours

1. Systèmes matériels et modélisations
2. Référentiels et degrés de liberté
3. Cinématique et centre de masse
4. Forces et lois de Newton
5. Équilibre translationnel
6. Moments et équilibre rotationnel
7. Équilibre sous deux ou trois forces
8. Gravitation et pesanteur
9. Forces de contact et frottement
10. Traction des fils et poulies
11. Travail et énergie cinétique
12. Forces conservatives et énergie
13. Produit vectoriel

📖 1. Systèmes matériels et modélisations

🔑 Notions clés & Définitions

• Système matériel : Portion de matière identifiée par la pensée dont on étudie les propriétés mécaniques ou thermodynamiques et leur évolution temporelle.

★ À maîtriser

📌 Un point matériel est une masse dont l’extension est réduite à un point, un solide rigide est un système étendu indéformable et un fluide est un système étendu déformable qui peut s’écouler.

Compléments

📌 Les systèmes étudiés dans ce chapitre sont fermés, donc leur masse reste constante au cours de l’évolution.

💡 Astuce mémo

Point matériel : localisé ; solide rigide : indéformable ; fluide : déformable et écoulable

📖 2. Référentiels et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Ensemble de points fixes les uns par rapport aux autres, par rapport auquel on repère une position ou une orientation et on étudie un mouvement.

★ À maîtriser

• Le référentiel terrestre, aussi appelé référentiel du laboratoire, est utilisé par défaut dans ce cours et peut être considéré comme galiléen pour des expériences de laboratoire de courte durée.

• Dans un référentiel donné, la position d’un point matériel M est représentée par le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)$.

• Un point matériel possède 3 degrés de liberté en trois dimensions et 2 degrés de liberté dans un plan.

• Un solide rigide possède 6 degrés de liberté en trois dimensions, soit 3 degrés de translation et 3 degrés de rotation, tandis qu’en deux dimensions il possède 3 degrés de liberté.

Compléments

• Un cylindre posé sur un plan et restant au contact possède 2 degrés de liberté de translation et 2 degrés de liberté de rotation, mais le roulement sans glissement réduit ce nombre à 1.

💡 Astuce mémo

Position → orientation → contraintes : les liaisons réduisent les degrés de liberté

📖 3. Cinématique et centre de masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de masse : Moyenne pondérée des positions par les masses.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse et l’accélération d’un point matériel sont définies par $\vec v_M(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ et $\vec a_M(t)=\frac{d\vec v_M}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

📌 Un mouvement rectiligne uniforme possède une vitesse vectorielle constante et une accélération nulle, tandis qu’un mouvement uniforme possède seulement une norme de vitesse constante et peut avoir une accélération non nulle.

📐 Formule - Pour un système de masse totale $m=\sum_i m_i$, le centre de masse vérifie $\overrightarrow{OC}=\frac{\sum_i m_i\overrightarrow{OM_i}}{\sum_i m_i}$ et $m\overrightarrow{OC}=\sum_i m_i\overrightarrow{OM_i}$.

Compléments

• Pour un système terrestre de petite taille devant le rayon de la Terre, le centre de masse et le centre de gravité sont confondus.

💡 Astuce mémo

Position variable → vitesse → accélération ; masses pondérées → centre de masse

📖 4. Forces et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Modèle mathématique caractérisé par un vecteur et un point d’application.

📝 Points essentiels

• L’unité de la force est le newton, avec $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$.

📌 Une force intérieure est exercée par une sous-partie du système sur une autre, tandis qu’une force extérieure est exercée sur le système par le reste du monde.

📐 Formule - La résultante des forces extérieures est la somme vectorielle $\vec F_{\mathrm{ext,tot}}=\sum_i\vec F_{\mathrm{ext},i}$.

📌 Un système isolé ne subit aucune force extérieure, tandis qu’un système quasi-isolé ou pseudo-isolé possède une résultante des forces extérieures nulle.

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $m_{\mathrm{tot}}\frac{d\vec v_C}{dt}=\vec F_{\mathrm{ext,tot}}$.

📐 Formule - La troisième loi de Newton impose que deux systèmes exercent des forces vérifiant $\vec F_{1\to2}=-\vec F_{2\to1}$, de même direction et sur la même droite d’action.

💡 Astuce mémo

Forces intérieures : dans le système ; forces extérieures : monde extérieur

📖 5. Équilibre translationnel

📝 Points essentiels

📌 Dans un référentiel galiléen, l’équilibre translationnel est réalisé lorsque la résultante des forces extérieures vérifie $\vec F_{\mathrm{ext,tot}}=\vec 0$.

📌 Sous l’action de deux forces à l’équilibre translationnel, les forces ont la même intensité et des sens opposés, tandis que sous trois forces elles vérifient $\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3=\vec 0$ et sont coplanaires.

• 🔄 L’étude de l’équilibre translationnel suit les étapes suivantes:
  1. choisir le système
  2. dresser le bilan des forces extérieures
  3. écrire l’équation vectorielle
  4. projeter sur des axes adaptés
  5. résoudre les équations scalaires

💡 Astuce mémo

Choisir le système → bilan des forces → équation vectorielle → projections

📖 6. Moments et équilibre rotationnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de forces : Ensemble de deux forces de somme vectorielle nulle mais dont les droites d’action sont distinctes.
• Moment d’une force : Le moment d’une force $\vec F$ appliquée en P par rapport à O est le vecteur $\vec M_O(\vec F)=\overrightarrow{OP}\wedge\vec F$, qui mesure sa capacité à produire une rotation.
• Bras de levier : Distance perpendiculaire entre O et la droite d’action de la force.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le module du moment s’exprime par $\lVert\vec M_O(\vec F)\rVert=d_\perp\lVert\vec F\rVert$.

📌 L’équilibre rotationnel d’un solide impose que la somme des moments des forces par rapport à O vérifie $\vec M_{O,\mathrm{tot}}=\sum_i\vec M_O(\vec F_i)=\vec 0$.

Compléments

• Le vecteur moment est perpendiculaire au plan contenant le vecteur position et la force, et son unité est le newton-mètre.

💡 Astuce mémo

Bras de levier × force → moment ; somme des moments nulle → absence de rotation

📖 7. Équilibre sous deux ou trois forces

★ À maîtriser

📌 Un solide soumis à deux forces est en équilibre lorsque les forces sont opposées, de même intensité, et que leurs droites d’action sont confondues.

📌 Un solide soumis à trois forces coplanaires non parallèles est en équilibre lorsque la résultante des forces est nulle et que leurs trois droites d’action sont concourantes en un même point.

Compléments

📌 Pour trois forces parallèles à l’équilibre, les rapports entre les bras de levier sont inversement proportionnels aux rapports entre les forces correspondantes.

📐 Formule - Pour une balance romaine à l’équilibre, le rapport des masses vérifie $\frac{m_1}{m_2}=\frac{PM_2}{PM_1}$.

💡 Astuce mémo

Deux forces : droites confondues ; trois forces non parallèles : droites concourantes

📖 8. Gravitation et pesanteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Pesanteur : Attraction de la Terre dirigée vers son centre et appliquée au centre de masse d’un système de masse m de petite dimension près de la surface terrestre.
• Attraction universelle : L’attraction universelle entre deux particules ponctuelles A et B de masses mA et mB est une force attractive proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance AB.
• Pesanteur : Force exercée par la Terre sur un système de masse m, de faible dimension devant le rayon terrestre et situé près de la surface, dirigée vers le centre de la Terre et appliquée au centre de masse du système.

📝 Points essentiels

• Deux particules de masses $m_A$ et $m_B$ séparées par la distance AB exercent une force gravitationnelle d’intensité proportionnelle à $m_A m_B$ et inversement proportionnelle à $AB^2$, avec $G\approx6{,}674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$.

📐 Formule - La force gravitationnelle exercée par A sur B s’écrit $\vec F_{A\to B}=-G\frac{m_A m_B}{AB^2}\vec u_{AB}$, où $\vec u_{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}$.

📐 Formule - Dans l’approximation d’un système proche de la surface terrestre, la force de pesanteur s’écrit $\vec F_{T\to S}=-G\frac{mM_T}{GC^2}\vec u_{GC}$.

📐 Formule - La force exercée par A sur B s’écrit $\vec F_{A\to B}=-G\frac{m_A m_B}{AB^2}\vec u_{AB}$, avec $G\approx 6{,}674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$.

📐 Formule - Près de la surface terrestre, la force de pesanteur s’écrit $\vec F_{T\to S}=m\vec g$ avec $\vec g=-g\vec u_z$ et $g=\frac{GM_T}{R_T^2}\approx9{,}816\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, tandis que la valeur normale à Paris est $g_0=9{,}80665\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

💡 Astuce mémo

Distance accrue → attraction diminuée selon le carré ; Terre proche → poids au centre de masse

📖 9. Forces de contact et frottement

📝 Points essentiels

📌 La réaction de contact se décompose en une réaction normale perpendiculaire à la surface et une réaction tangentielle liée aux frottements, selon $\vec R=\vec N+\vec T$.

📌 La réaction tangentielle est opposée au glissement effectif ou virtuellement induit par les autres forces agissant sur le système.

📐 Formule - En glissement, le frottement dynamique vérifie $\|\vec T\|=\mu_D\|\vec N\|$, tandis qu’en absence de glissement le frottement statique vérifie $\|\vec T\|\leq\mu_S\|\vec N\|$, avec généralement $0\leq\mu_D\leq\mu_S\leq1$.

📐 Formule - Pour un solide sur un plan incliné, l’équilibre statique est possible seulement si $|\theta|\leq\arctan(\mu_S)$ ; au-delà de cet angle critique, le solide glisse.

💡 Astuce mémo

Normale perpendiculaire au contact, tangentielle opposée au glissement

📖 10. Traction des fils et poulies

🔑 Notions clés & Définitions

• Traction d’un fil : Dans le modèle idéal d’un fil inextensible, sans masse et sans raideur, la force de traction est colinéaire au fil et sa tension est positive ou nulle.
• Poulie parfaite : À l’équilibre mécanique, une poulie parfaite, dépourvue de masse et de frottements, conserve la même tension dans les deux brins du fil tout en pouvant en changer la direction.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si le système est accroché à l’extrémité A d’un fil orienté vers B, la traction s’écrit $\vec T_A=T\vec u_{AB}$, où $T=\|\vec T\|\geq0$ et où son point d’application est A.

💡 Astuce mémo

Un fil tendu tire dans son axe et une poulie dévie la traction

📖 11. Travail et énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Grandeur scalaire qui quantifie l’énergie transférée au système lorsque le point d’application de la force se déplace.
• Énergie cinétique : Énergie qu’un système possède du fait de son mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un déplacement infinitésimal, le travail élémentaire vérifie $\delta W(\vec F)=\vec F\cdot d\vec\ell$, et entre A et B le travail vaut $W_{A\to B}(\vec F)=\int_A^B\vec F\cdot d\vec\ell$.

📌 Le travail est positif si le déplacement se fait dans le sens de la force, négatif dans le sens opposé et nul si la force est perpendiculaire au déplacement ou si son point d’application ne se déplace pas.

📐 Formule - Pour un ensemble de masses ponctuelles, l’énergie cinétique totale est $E_c=\sum_i\frac{1}{2}m_i\vec v_i^{\,2}$, et pour une translation uniforme elle devient $E_c=\frac{1}{2}m\vec v_C^{\,2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une force constante, le travail entre A et B est indépendant du chemin et vaut $W_{A\to B}=\vec F\cdot\vec{AB}$.

📐 Formule - La puissance instantanée d’une force vérifie $P_{inst}=\vec F\cdot\vec v$ et s’exprime en watts.

💡 Astuce mémo

Force → travail → énergie cinétique

📖 12. Forces conservatives et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions initiale et finale de son point d’application.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de l’énergie cinétique donne $E_c(2)-E_c(1)=W(\vec F_{ext})+W(\vec F_{int})$, c’est-à-dire que la variation d’énergie cinétique égale la somme des travaux des forces intérieures et extérieures.

📐 Formule - Une force est conservative s’il existe une énergie potentielle Ep telle que $W_{A\to B}(\vec F)=E_p(A)-E_p(B)$.

📐 Formule - Si un système n’est soumis qu’à des forces conservatives, son énergie mécanique $E_m=E_c+E_p$ se conserve au cours du temps.

Compléments

📐 Formule - Dans un champ de pesanteur uniforme, l’énergie potentielle de pesanteur peut s’écrire $E_{p,p}(z)=mgz$ à une constante additive près.

📐 Formule - Pour un mouvement à une dimension, une force conservative vérifie $f(x)=-\frac{dE_{pot}(x)}{dx}$.

💡 Astuce mémo

Forces conservatives → énergie mécanique conservée ; frottements → dissipation

📖 13. Produit vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Vecteur orthogonal aux deux vecteurs et au plan qu’ils engendrent.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le produit vectoriel vérifie $\vec u\wedge\vec v=-\vec v\wedge\vec u$ et donc $\vec u\wedge\vec u=\vec 0$.

📐 Formule - La norme du produit vectoriel vérifie $\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\|\vec v\||\sin(\widehat{\vec u,\vec v})|$ et représente l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.

Compléments

📐 Formule - Pour deux vecteurs de composantes usuelles, leur produit vectoriel s’écrit $\vec u\wedge\vec v=(u_yv_z-u_zv_y)\vec u_x+(u_zv_x-u_xv_z)\vec u_y+(u_xv_y-u_yv_x)\vec u_z$.

• Le sens du produit vectoriel est donné par la règle de la main droite : l’index pointe selon $\vec u$, le majeur selon $\vec v$ et le pouce indique $\vec u\wedge\vec v$.

💡 Astuce mémo

La main droite donne le sens du vecteur perpendiculaire au plan

📊 Tableaux de synthèse

Types de systèmes matériels

Conditions d’équilibre