Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et racines
2. Forme factorisée et racines
3. Méthodes de factorisation
4. Parabole et éléments caractéristiques
5. Signe et variations
6. Cas particuliers des paraboles

📖 1. Définition et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur R par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et a est non nul.
• Racine : Nombre réel x₁ vérifiant $f(x₁)=0$, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients du polynôme.

📌 Graphiquement, les racines sont les abscisses des points où la courbe représentative coupe l’axe des abscisses d’équation y=0.

📖 2. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction factorisée : Toute fonction définie par $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$, avec a réel non nul et x₁, x₂ réels.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si f admet deux racines x₁ et x₂, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

📐 Formule - Si x₁=x₂, alors la forme factorisée est $f(x)=a(x-x₁)^2$ et x₁ est une racine double.

• Dans la forme factorisée $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$, x₁ et x₂ sont les solutions de l’équation f(x)=0.

💡 Astuce mémo

Deux racines donnent deux facteurs ; une racine double donne un carré.

📖 3. Méthodes de factorisation

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec une seule racine, on vérifie d’abord cette racine, on détermine a, on écrit le début de la forme factorisée, on calcule f(0) avec les deux expressions, on résout l’équation obtenue pour x₂, puis on remplace x₂.

Compléments

• Une racine évidente est une racine facile à vérifier, comme −2, −1, 0, 1 ou 2.

💡 Astuce mémo

Racine → coefficient a → premier facteur → seconde racine.

📖 4. Parabole et éléments caractéristiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$, d’équation $y=ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

• Le sommet S a pour coordonnées S(xₛ;yₛ), avec yₛ=f(xₛ).

📐 Formule - L’axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d’équation $x=xₛ$.

📐 Formule - Si deux nombres u et v ont la même image par f, alors l’axe de symétrie a pour équation $x=xₛ=\frac{u+v}{2}$.

Compléments

• La parabole coupe l’axe des ordonnées au point C(0;c) et peut couper l’axe des abscisses en deux points, en un seul point ou en aucun point.

💡 Astuce mémo

Racines → intersections avec l’axe des abscisses → axe de symétrie → sommet.

📖 5. Signe et variations

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction sous forme factorisée, l’abscisse du sommet et l’axe de symétrie vérifient $xₛ=\frac{x₁+x₂}{2}$.

• La parabole coupe l’axe des abscisses aux points A(x₁;0) et B(x₂;0), car x₁ et x₂ sont ses racines.

• Le signe de f se détermine algébriquement avec un tableau de signes ou graphiquement selon la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

Compléments

• Si x₁=x₂, la parabole possède un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses, qui est le sommet S(x₁;0).

💡 Astuce mémo

Au-dessus de l’axe : positif ; en dessous : négatif.

📖 6. Cas particuliers des paraboles

★ À maîtriser

• Les fonctions $f(x)=ax^2$ et $g(x)=ax^2+c$ ont pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.

• La parabole de $f(x)=ax^2$ a pour sommet l’origine O(0;0).

Compléments

• La parabole de $g(x)=ax^2+c$ a pour sommet S(0;c).

💡 Astuce mémo

Les paraboles ax² et ax²+c sont centrées sur l’axe des ordonnées.

📊 Tableaux de synthèse

Formes et racines